运用马尔科夫链对江苏省各地区人均GDP进行的预测

运用马尔可夫链对安徽省各地区人均GDP的预测王盼盼（南京财经大学财政与税务学院）摘要：本文运用马尔可夫方法对安徽省各地区人均GDP的变化情况进行了预测分析，它对研究安徽省各地区的经济发展具有一定的参考价值。一、马尔科夫原理简介马尔科夫性的定义过程(或系统)在时刻0t所处的状态为已知的条件下,过程在时刻tt0所处状态的条件分布与过程在时刻0t之前所处的状态无关。通俗地说,就是在已经知道过程“现在”的条件下,其“将来”不依赖于“过去”。模型建立的基础设)(tX是t时刻所处的状态，为了便于研究，首先将连续变化的时间进行“离散化”处理，同时将事物所处的状态分成若干等级，分别与状态空间对应。马尔科夫模型建立的基础是“无后效性”和“平稳性”。其中无后效性是指事物本阶段的状态只与前一阶段的状态有关，而与以前其他任何阶段的状态都无关nnnnnnPPPPPPPPPP212222111211由于马尔可夫过程满足“无后效性”和“平稳性”，所以()122nnnnPPPPP(()nP是事物的状态经过n步转移的转移概率矩阵)运用马尔可夫预测法进行预测，主要原理是建立马尔可夫预测模型，利用初始状态向量和状态转移概率矩阵来推知预测未来某一时期所处的状态。用()nijP示预测对象由状态i经过n次转移至状态j的概率，即n步转移概率矩阵()()()11121()()()21222()()()12nnnknnnknnnkkkkPPPPPPPPPP称为n步转移概率矩阵。其中的元素具有如下性质：()()01(,1,2,,)1(,1,2,,)nijnijPijkPijk用()niS表示第N个时期预测对象恰好处于状态i的概率，则向量()()()()12(,,)nnnnkSSSS称为第N个时期的状态向量。向量元素具有如下性质：()()0(1,2,,)1(1,2,,)niniSinSin第0个时期的状态概率12(0),(0),(0)nSSS称为初始状态概率，相应的向量)0(S称为初始状态概率向量。可以证明，()(1)0nnNSSPSP。上式即为马尔可夫预测模型。其中，P为一步转移概率矩阵。由模型可知，第N期的状态率取决于初始状态概率和一步转移概率矩的N次方。显然，若已知初始状态概率向量)0(S及转移矩阵P，则可求出预测对象在任何一时期处于任何一个状态的概率。表1安徽省各地区人均国内生产总值2002~2006年单位：（元）年份城市20022003200420052006年份城市20022003200420052006合肥2196225252290583979244389阜阳37114052422958206813芜湖2357028024335443745733734宿州47304125490068587784蚌埠1188213868154561770020268巢湖745082388949100819852淮南8175898797841152213871六安23502544303938784490马鞍山2341228825295365181158051亳州49735322631457567282淮北1023011703150071757716704池州541561067290867810357铜陵1902222432298343908549993宣城715379778989936010644安庆1303115488199172064522478黄山1042411685138191695419577滁州1249215713173531746419477由于阜阳市缺少2006年的数据，2003年阜阳市人均GDP增长率为9.2%，2004年阜阳市人均GDP增长率为4.4%，2005年阜阳市人均GDP增长率为37.6%，取这三年阜阳市人均GDP增长率的均值为17.1%，则估计2006年的人均GDP为6813元。二、实证分析过程（一）状态的划分联合国、世界银行划分国家发展程度的依据是人均GDP，人均GDP是衡量一个地区发展程度重要的指标。在我国，人均GDP是衡量人民生活水平的核心指标之一。世界银行1990年世界发展报告中对121个国家(地区)的排队分组，按照人均GDP将各国家（地区）划为贫困、温饱、小康、富裕和发达国家（地区）五种类型，根据中国的实际情况，我们按照如下标准划分为以下五种状态：G1-贫困（人均GDP在300美元以下）；G2-温饱（人均GDP在300美元~800美元）；G3-小康（人均GDP在800美元~1500美元）；G4-富裕（人均GDP在1500美元~3000美元）；G5-发达（人均GDP在3000美元以上）。我们可以把它看作是一个以{G1，G2，G3，G4，G5}为状态空间的马尔可夫链（由于人均GDP具备无后效应的特点，）。安徽省共有17个市，因此本文将通过2002~2006安徽地区的人均GDP（见表1）原始数据来自中国统计年鉴2002~2006：人民币=1：8的汇率换算）情况来建立马尔可夫预测模型。由表1可以看出安徽省2002年各地区的人均GDP均超过了贫困水平，所以我们将安徽地区的均GDP情况划分为四种状态，分别是：A1-温饱（人均GDP在300美元~800美元）；A2-小康（人均GDP在800美元~1500美元）；A3-富裕（人均GDP在1500美元~3000美元）；A4-发达（人均GDP在3000美元以上）。表22002~2006年的人均GDP类型统计年份类型20022003200420052006A155431A265456A364556A403444根据表1和表2资料得2002~2003年的状态转移情况如下表：下期状态本期状态A1A2A3A4A15000A20510A30033A40000从上可以看出，状态转移矩阵最后一行元素全为0，为了满足转移概率矩阵每一行的行和为1的性质，我们假定状态A4能够完全转移到A4即可。状态转移概率分别为：0000.15511p，0000.05012p，0000.05013p，0000.05014p；8333.06522p，1667.06123p；…。由此可得转移概率矩阵：0000.10000.00000.00000.05000.05000.00000.00000.00000.01667.08333.00000.00000.00000.00000.00000.11P同理我们可以得到2003~2004年，2004~2005年，2005~2006年的转移概率矩阵：0000.10000.00000.00000.02500.07500.00000.00000.00000.04000.06000.00000.00000.00000.02000.08000.02P，2003~2004年的转移矩阵0000.10000.00000.00000.00000.0000.10000.00000.00000.00000.00000.10000.00000.00000.02500.07500.03P，2004~2005年的转移矩阵0000.10000.00000.00000.00000.00000.10000.00000.00000.02000.08000.00000.00000.00000.06667.03333.04P，2005~2006年的转移矩阵为了减少计算中的随机误差，我们再进一步对以上四个转移概率矩阵求平均值，得到一步转移概率矩阵：0000.10000.00000.00000.01875.08125.00000.00000.00000.01917.08083.00000.00000.00000.02792.07208.0441iiPP我们对n步转移概率矩阵nP求极限可得最终分布为)1,0,0,0()(k，即在假设没有重大自然灾害、战争和金融危机的情况下，最终所有地区都将成为发达地区这一吸收状态。由此可以看出，所求的最终分布与实际是相吻合的B因此我们可以利用马尔可夫链来预测几年后安徽省各地区人均GDP的情况。我们取2006年人均GDP的状态数)4,6,6,1(2006。则安徽地区2007年的状态预测为：)125.5,025.6,129.5,7208.0(0000.10000.00000.00000.01875.08125.00000.00000.00000.01917.08083.00000.00000.00000.02792.07208.0)4,6,6,1(20062007P由上述结果可知，按目前的变化(即转移概率基本保持不变)，安徽在2007年有0.7个地区为温饱地区，5.129个地区为小康地区，6.025个地区为富裕地区和5.125个地区为发达地区。而实际的状态为：2007年有1个地区为温饱地区，5个地区为小康地区，6个地区为富裕地区和5个地区为发达地区。预测结果与真实结果基本相符。安徽地区三年后的人均GDP状态预测为：0000.10000.00000.00000.01875.08125.00000.00000.00000.01917.08083.00000.00000.00000.02792.07208.0441iiPP)55.4,9.6,0.5,45.0(0000.10000.00000.00000.01875.08125.00000.00000.00000.01917.08083.00000.00000.00000.02792.07208.0)4,6,6,1(3320062009P（0.5196，4.3470，5.8785，6.2547）（0.3745，3.6588，4.7763，7.3569）这个结果表明，在2009年有0.3745个地区为温饱地区，3.6588个地区为小康地区，4.7763个地区为富裕地区和7.3569个地区为发达地区。由以上结果可知，随着转移步数的增加，安徽省温饱和小康的地区数有所减少，而富裕和发达的地区数有所增加。经过数年之后，安徽省的所有地区将成为发达地区，这与马尔可夫链的最终分布)1,0,0,0()(k式相符的，从而说明了用马尔可夫预测的可行性。但是本文是基于不出现重大自然灾害、战争和金融危机的假设下进行的，而且马尔科夫链的预测仅适用于短期预测，因此具有一定的局限性。参考文献[1]杜雪樵,惠军.《随机过程》[M].合肥工业大学出版社.2006(05).[2]工则.马尔科夫转移矩阵法[J].科技咨询导报,2005,(02).[3]付景林,路来君,郭宏壮.无后效性马尔科夫过程在管理领域的应用[A].管理科学与系统科学进展——全国青年管理科学与系统科学论文集（第4卷）[C],1997.[4]张衡.马尔科夫链的一个应用[J].长春光学精密机械学院学报,1994,(03)[5]赵贤淑.马尔科夫预测技术的应用[J].西安科技学院学报,1995,(04).[6]马尔科夫转移矩阵法的涵义[J].科技智囊,2006,(02).[7]郝飞.马尔科夫预测法在股市预测中的应用[J].科学之友(B版),2006,(06).[8]梁盛泉.甘肃省各地市人均GDP的马尔可夫预测及变动分析[J].中国农业资源与区划,2007,(02)[9]肖振宇,王煊.中国各地区人均GDP的马尔可夫预测及变动分析[J].西北农林科技大学学报(社会科学版),2004,(04)[10]袁以美.马尔科夫模型在汽车市场预测中的应用[J].企业经济,2008,(03).