运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

1公开课教案第15讲运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例开课人：薛由琼开课时间：2014-5-21第三节开课班级:高二年1班安全教育：反恐、反暴的安全知识。考试大纲要求：1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中函数的次数一般不超过三次)．2．会利用导数解决某些实际问题．复习内容：1．函数的最值(1)函数f(x)在区间[a，b]上必有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条____________________，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的各极值与________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．极值或最值的应用(1)f(x)m恒成立等价于________；f(x)m恒成立等价于________．(2)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极大值f(x1)，极小值f(x2)．若函数有三个零点，则_________________；若函数有两个零点，则_________________；若函数有且仅有一个零点，则_________________．3．优化问题：用料最省、利润最大、效率最高、成本最低等问题称为优化问题．利用导数解决生活中的优化问题的思路：——链接教材——1．[教材改编]函数f(x)＝6－12x＋x3，x∈[－1，1]的最大值和最小值分别是________，________．[解析]由题意可得，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x∈(－22，2)时，f′(x)0，所以f(x)在区间(－2，2)上单调递减，所以f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别为f(－1)＝17，f(1)＝－5.2．[教材改编]一条长为2的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长度分别是________，________．[解析]设两段铁丝的长分别为x，2－x.则两个正方形的面积之和为S＝x216＋（2－x）216＝18x2－14x＋14，则S′＝x4－14，令S′＝0得x＝1.当x1时，S′0；当x1时，S′0.所以S在x＝1处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.3．[教材改编]做一个容积为256dm3的底面为正方形的无盖水箱，若要使用料最省，则它的高为________dm.[解析]设底面边长为x，则高为h＝256x2，其表面积为S＝x2＋4×256x2×x＝x2＋256×4x.则S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8.当x8时，S′0；当x8时，S′0.所以S在x＝8时取得极小值，也是最小值，用料最省，故高h＝25664＝4(dm)．——疑难辨析——1．用导数求最值的误区(1)函数在某区间上有极值，则一定有最值．()(2)连续函数在闭区间上必有最值．()(3)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．()(4)函数f(x)＝x＋x－1和g(x)＝x－x－1都是在x＝0时，取得最小值－1.()(5)函数f(x)＝x2lnx没有最值．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×[解析](1)函数在某区间上有极值，则不一定有最值．如函数f(x)＝x3－3x在R上只有极值没有最值．(2)根据最值的概念知命题正确．(3)二次函数的极值也是最值．(4)对于f(x)＝x＋x－1，f′(x)＝12x＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)为增函数，且定义域为[0，＋∞)，所以f(x)的最小值为f(0)3＝－1.对于g(x)＝x－x－1，令g′(x)＝12x－1＝0，得x＝14.当x∈（0，14）时，g′(x)0；当x∈（14，＋∞）时，g′(x)0，所以g(x)在区间（0，14）上是增函数，在区间14，＋∞上是减函数，所以当x＝14时，g(x)有极大值也是最大值，g（14）＝－34.(5)由题意可知，f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)．因为x0，所以由f′(x)＝0得x＝1e.当x1e时，f′(x)0；当0x1e时，f′(x)0.所以当x＝1e时，函数有极小值也是最小值，f（1e）＝－12e.2．导数的其他应用(1)已知x∈0，π2，则sinxx.()(2)求实际问题中的最大值、最小值，一定要考虑变量的实际意义．()(3)一点沿直线运动，如果由始点起经过ts运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是1s末．()(4)若a2，则方程13x3－ax2＋1＝0在区间(0，2)上没有实数根．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×[解析](1)令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx0（x∈（0，π2））.所以f(x)是区间（0，π2）上的增函数，则f(x)＞f(0)＝0，故xsinx.(2)求实际问题的最值问题，结果要与实际情况相结合，不符合实际意义的应舍去．(3)S′＝t3－5t2＋4t，令S′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，即0，1，4s末，速度均为零．(4)设f(x)＝13x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)．由a2得当x∈(0，2)时，f′(x)0，f(x)在区间(0，2)上为减函数．又f(0)f(2)＝1×（83－4a＋1）＝113－4a0，故f(x)＝0在区间(0，2)上恰好有1个根．4探究点一利用导数研究函数的最值例1[2013·北京海淀区模拟]已知函数f(x)＝12x2－12与函数g(x)＝alnx在点(1，0)处有公共的切线，设F(x)＝f(x)－mg(x)(m≠0)．(1)求a的值；(2)求F(x)在区间[1，e]上的最小值．解：(1)因为f(1)＝g(1)＝0，所以点(1，0)在函数f(x)，g(x)的图像上．又f′(x)＝x，g′(x)＝ax，所以f′(1)＝1，g′(1)＝a，即a＝1.(2)F(x)＝12x2－12－mlnx，其定义域为{x|x0}，则F′(x)＝x－mx＝x2－mx.当m0时，F′(x)＝x2－mx0，所以F(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以F(x)在区间[1，e]上的最小值为F(1)＝0.当m0时，令F′(x)＝x2－mx＝0，得到x1＝m0，x2＝－m0(舍去)．当m≤1，即0m≤1时，在区间(1，e)上F′(x)0.所以F(x)在区间[1，e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0；当m≥e，即m≥e2时，在区间(1，e)上F′(x)0，所以F(x)在区间[1，e]上单调递减，其最小值为F(e)＝12e2－12－m；变式题(1)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)，在区间[－2，2]上有最大值3，那么在区间[－2，2]上的最小值为()A．－21B．－29C．－37D．－45(2)[2013·邯郸二模]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4]B．(4，＋∞)C．(6，＋∞)D．(－∞，6][答案](1)C(2)A[解析](1)f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x∈(－2，0)时，f′(x)0；当x∈(0，2)时，f′(x)0.所以f(0)是函数的极大值．又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，所以最大值为f(0)，5最小值为f(－2)，所以m＝3，f(－2)＝－37.(2)依题意2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则a≤2lnx＋x＋3x.设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x0)，则h′(x)＝（x＋3）（x－1）x2.当x∈(0，1)时，h′(x)0，所以h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，所以h(x)单调递增．所以h(x)的最小值为h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤4.探究点二实际生活中的优化问题与导数例2[2013·重庆卷]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r0，又由h0可得r53，故函数V(r)的定义域为(0，53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5(舍去r2＝－5)．当r∈(0，5)时，V′(r)0，故V(r)在区间(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)0，故V(r)在区间(5，53)上为减函数．由此可知，函数V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．变式题受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y＝5150x－ax2－lnx10，且x2x－12∈[1，＋∞)．当x＝10时，y＝9.2.(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；6(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．解：(1)因为当x＝10时，y＝9.2，即5150×10－a×102－ln1＝9.2，解得a＝1100.所以f(x)＝5150x－x2100－lnx10.因为x2x－12≥1，所以6x≤12，即投入x的取值范围是(6，12]．(2)对f(x)求导，得f′(x)＝5150－x50－1x＝－x2－51x＋5050x＝－（x－1）（x－50）50x.令f′(x)＝0，得x＝50(x＝1舍去)．当x∈(1，50)时，f′(x)0，且f(x)在区间(1，50)上连续，因此f(x)在区间(1，50)上是增函数，于是f(x)在区间(6，12]上是增函数，所以当x＝12时，f(x)取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．7极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域上的性质。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在指定的区间上，哪个值最大，哪个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值问题。函数的最大（小）值是在函数的极大（小）值基础上的发展。从函数图象上我们容易直观地看出：如果上函数f（x）的图象是一段光滑的曲线，那么它必有最大值和最小值。结合函数极值中的例子，以及函数的图象不难看出，只要把函数f（x）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（小）值。2．关于例5的说明我们是在极值的基础上讲最大（小）值，例5的教学要紧密结合例4，例4已求出函数的极大值和极小值，在例5给定的区间上，函数有极小值，然后求出函数在给定区间端点的函数值，把区间端点的函数值与极小值比较，就可以得出函数在给定区间上的最大值和最小值。最后归纳给出了求函数f（x）在上的最大（小）值的步骤，学生熟悉一般步骤之后，有些步骤可以省略。3．4生活中的优化问题举例生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题。导数