近世代数,第一章,基本概念,练习题

第一章基本概念练习题一、填空：1、若A中有个m元素,B中有个n元素,则A×B中有个元素.2、设}2,1{A,}4,3{B.那么BA.3、DBA到的映射叫做DBA到的一个.4、若AAA到是的代数运算，则称是A的，也称A对是封闭的.5、设是A的代数运算.若对任意Acba，，，有)()(cbacba，则称适合.6、A到A的映射叫做A的一个.7、建立实数集R到正实数集R的映射，:2xx，R的运算为数的加法，R的运算为数的乘法，该映射（是或不是）R到正实数集R的一个同态映射．8、建立正实数集R到实数集R的映射，:lnxx，R的运算为数的乘法，R的运算为数的加法，该映射________（是或不是）R到R的一个同态映射．9、若存在映射是A到A的一个时，则对于，来说，称A与A同态．10、集合上满足反身性、对称性和的一个关系叫做等价关系．二、判断题1、A={所有不等于零的实数}，是普通除法,则这个代数运算不适合结合律．()2、A={所有实数}，定义代数运算：2abab，则这个代数运算不适合结合律．()3、设,ZA“”是整的减法，则“”在Z中不满足结合律．()4、设,ZA“”规定如下：3abb，则该代数运算不满足结合律．()5、设,ZA“”规定如下：2abb，则该代数运算不满足结合律．()6、一个有限集与它的真子集之间不可能有一一映射。()7、当A与A是无限集时，它们之间可能存在一一映射。()8、设，分别是集合AA,的代数运算，AA:是一个映射。若Aba,，有)()()(baba，则称是A到A的一个同构映射。()9、实数域R上全体n阶可逆方阵组成的集合为nMR，建立映射：:AA。可知该映射是关于矩阵乘法和数的乘法的nMR到R的同态映射，但非满射。()10、设对于代数运算，来说，A与A同态，若适合结合律，则未必也适合结合律（）11、设对于代数运算，来说，A与A同态，若适合交换律，则也适合交换律（）12、A={所有实数}，A的元素间的关系不是等价关系()13、集合A的一个分类决定A的一个等价关系，但A的一个等价关系未必决定A的一个分类（）14、设是集合A的一个等价关系，则元素a所在的等价类为[]{}axAxa（）三、选择题1、A{所有整数},令:AA，2aa,当a是偶数;12aa,当a是奇数.则为()(A)单变换(B)满变换(C)一一变换(D)不是变换2、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：：2xx，x∈R，则是从A到B的（）(A)满射而非单射(B)单射而非满射(C)一一映射(D)既非单射也非满射3、设A=R（实数集），B=R+（正实数集）,:10aa，a∈A，则是从A到B的()。(A)满射而非单射(B)单射而非满射(C)一一映射(D)既非单射也非满射4、下列是代数运算（即二元运算）的是（）(A)在整数集Z上，abbaba；(B)在有理数集Q上，abab；(C)在正实数集R上，babaln；(D)在集合0nZn上，baba。5、设A{所有实数},A的代数运算是普通乘法,则以下映射做成A到A的子集的同态满射的是()(A)xx10(B)xx2(C)xx(D)xx(E)10xx四、解答题1、设A是数域K上n阶矩阵全体构成的集合。证明矩阵的相似是A上的一个等价关系。2、设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。3、（1）设1{}01xMxR，其代数运算为矩阵乘法，R为实数集，其代数运算为数的加法，证明MR。（2）设{1}AaQa，其代数运算为数的乘法，{01}BbQb，其代数运算为数的乘法，证明AB。4、设是集合A的一个等价关系，,abA，证明：[][]ab当且仅当ab。