近世代数教案

近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥2学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。教学手段：黑板板书与Powerpoint课件相结合。主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学,近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材)高等教育出版社,19993.石生明,近世代数初步,高等教育出版社20024.B.L.VanderWaerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5.M.Kline,古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社20023第一章导引本章教学目标：1.概要了解代数学发展的四个阶段：文字叙述阶段；简化文字阶段；符号代数阶段；结构代数阶段2.了解近世代数产生的三大基础：高次方程求根问题与Galois群；费马问题的Kummer方法与理想论；Hamilton四元数；了解近世代数在现代数学中的地位3.代数运算的一般定义4.群、环、域的定义与初步实例教学时数：共3节，每节2学时，共6学时思考问题：1.利用乘法公式解释我国古代筹算开方法的原理。2.素数的复整数分解。5=(1+2i)(1-2i)，问通常素数的复整数中存在非平凡分解的充分必要条件如何。3.证明汤璪真（Z，*）群定理，并推广这个定理：设n是任一固定整数，在整数集上构造一个群，使其单位元是n。1.1方法与对象内容要点：概要了解代数学发展的历史；了解形成近世代数三大4基础，Galois群，Kummer理想论，Hamilton四元数；了解近世代数在现代数学中的地位。讲授内容：代数学经历了漫长的发展过程，抽象代数是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支。为了对代数学的发展过程有一个梗概的了解，下面我们考察代数学发展的四个不同阶段。1）文字叙述阶段2）简化文字阶段3）符号代数阶段4）结构代数阶段古希腊之前直到丢番图(Diophantus，公元250年)时代，代数学处于最初的文字叙述阶段，这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学。这一阶段算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法，代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达，因而代数推理也都采用直观的方法。在古代中国则有著名的筹算法。算筹记数法：123456789105筹算开方法以下摘自李俨著《中国算学史》：筹算开方法见于九章算术，其开方布算列为商、实、法、借算四级。例求55225之平方根1）先置积为实，与单位下借算1商55225实法1借算2）因实有5位，移借算于百位则商（根）有十位数；移借算于万位则商（根）有百位数。是谓借一算步之，超一等。今移借算1于万位5之下，则根百位数为2（22=4，5-4余1）2商55225实4法1借算3）去5留1，并于借算1上置根之百位数2，称之为法。2商15225实2法1借算4）倍法为定法（2×法=定法：2×2=4）62商15225实4法1借算5）4一退，借算1二退于百位，则商在十位。15÷4=3余3，约得根之十位为3，置3于商之十位及法之个位。23商15225实43法1借算6）152-43×3=23，去152留23为实。（与第3步相同）23商2325实43法1借算7）法位43+3=46为定法。（与第4步相同）23商2325实46法1借算8）定法一退，借算1二退，商在单位。232÷46=5余2，商之个7位约为5。置5于商之个位及法之个位。（与第5步相同）235商2325实465法1借算9）2325-465×5=0，开方完成，得55225之平方根为235。思考问题1利用乘法公式解释筹算开方法的原理。参考答案以万位数开方为例，由平方和公式M=(100a+10b+c)2=104a2+10(20a+2b)c+c2第一次试商a(根的百位数);第一次定法位,倍法为定法20a=2a×10;第一次求余数M-104a2;第二次试商b(根的十位数);第二次定法位,20a+2b;第三次试商c;最后求余数M-104a2-10[(20a+2b)c+c2]=0;开方完成。而在古希腊则借助于几何图形的变换方法。最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras公元前585—497)几何数论方法。例如通过图1的几何图形的组合得1+3+5+7+……+(2n-1)=n2。(图1)不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数结论，恰当地8利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结论(参阅后面6.1节)。缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学。直到古希腊数学后期，数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化，利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式。例如：一个数的平方表为△Y。这是因为希腊文“幂”字为dumamis(△YNMIS)，立方表为KY，因为立方的希腊文为kubos(KYBOS)，等等。这一时期称为代数的简化文字阶段，这一时期大致延续到欧洲文艺复兴时代。丢番图对代数学的发展作出了突出的贡献，《算术》一书是丢番图留下的重要著作，该著作研究了一系列不定方程的求解问题。例如把一个平方数表为两个平方数之和的问题。后来欧拉发现了正整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件。把一个给定的整数表为四个数的和再加上这四个数的平方和(即求x、y、z、w使x2+y2+z2+w2+x+y+z+w=n)。求两个有理数使它们的和等于它们的立方和，例如等等。正是在丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上，17世纪伟大的法国数学家费马（PierredeFermat1601—1665）提出了不定方程nnnzyx在n3时不可解问题。19世纪费马问题的研究也是导致近世代数理想论产生的重要契机。代数学的第三个重要发展阶段是符号代数阶段，这一阶段经过欧洲文艺复兴之后的好几位数学家的努力而达到，它大致在17世纪完成。它的标志是用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式。较早的代表著作是德国数学家M.Stifel(1486—1567)1553年的著述《综合算术》。Stifel利用10进制小数表示实数。对代数学的符号体系作出了重要贡献的另一位代表人物是法国数学家71334363734351234312578759韦达(F.Viete1540—1603)。韦达是第一个系统使用字母表示数的人，韦达在代数方程、三角学等许多方面都作了杰出的贡献。韦达求出了2/的无穷积表达式。代数学的第四个阶段是结构代数阶段。这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算，而是抽象的运算系统(如群、环、域等)的代数结构。它起因于年青的法国数学家EvaristeGalois(1811—1832)对代数方程根式解的研究。近世代数的产生是结构代数的重要标志，近世代数的三大基础：1）Galois利用群论方法研究高次方程的求根问题2）Kummer利用理想论方法研究Fermat问题3）Hamilton四元数的发现Galois引入了群与扩域的工具，解决了高次方程的求根问题。这个问题是在16世纪中叶，两位意大利数学家G.Cardano(1506年)与L.Ferrari(1545年)发现了三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题。Galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径，发现根的对称性群的结构能够决定根的可解性。Galois的研究不但确立了群论在数学中的重要地位，同时也开创了结构代数这个新型的代数学研究方向。在数学家们致力于解决高次方程的求解问题的同时，高斯(CarlGauss1777—1855)为了解决费马（P.deFermat，1601—1605）问题，开始一般性地研究代数数域。他的学生库默尔(E.Kummer，1810—1893)在Gauss方法的基础上引入了理想数，使Fermat问题的研究推进了一212121212121212121890cos490cos290cos210大步。直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论。1834年爱尔兰数学家WilliamR.Hamilton(1805—1865)在高斯把复数解释为二元数这一思想的启发下创建了一种奇特的不交换的数系，后来人们称之为Hamilton四元数。以上三大进展奠定了近世代数学的重要基础。1931年荷兰数学家B.L.vanderWaerden出版了两卷本《近世代数学》，1955年该书第四版更名为《代数学》。这一著作标志着群、环、域等抽象结构理论已经成为现代代数学的主要研究对象，该著作同时也成为现代结构主义数学的起点。1951年美国数学家N.Jacobson又出版了新的代数学著作，书名为《抽象代数学讲义》(共三卷)。因此近世代数也被称为抽象代数。抽象代数是以具有一定代数运算系统的整体结构作为研究对象的。整数系统有加法和乘法运算，两种运算满足一定的运算法则。而全体有理系数多项式也具有加、乘两种运算，满足同样的运算法则，因此从这个意义上说这两个系统具有相同的代数结构，我们把这种代数结构抽象地称为环。因此有整数环、数域上的多项式环。这两种环还有其它许多相类似的性质，例如都有带余除法，这种带余除法在研究因子分解过程中起着十分重要的作用。我们在后面(第二章、第六章)将看到整数环虽然与域上的多项式环形式不一样，但它们在因子分解性质上是相同的，这两个环都称为欧氏环(欧几里德环)。数域上的矩阵也组成一个环，称为矩阵环。矩阵环与整数环及多项式环的区别在于乘法不交换，另一个区别是矩阵环中一般没有上述的带余除法，因此矩阵环在因子分解方面没有欧氏环中那么简单的规律，例如因子分解唯一性。可见抽象代数就其研究方法而言，是从运算法则的抽象角度去研究一个数学系统的整体结构。但是这些抽象结构系统并不是凭空想象出来的，每一个抽象结构系统都是为了解决某个重大疑难问题而引入11的。本书的一个重要的特点是从问题解决的途径来讨论各种代数系统的结构和性质，每一章所选择的重要疑难问题大多数都曾经在近世代数产生和发展过程中发挥过关键的作用。思考问题2在下面的问题中，我们可以初步了解到一个抽象的运算系统可能具有与我们所熟悉的整数等运算系统很不相同的性质。将Z(i)=｛a+bi︱a，b是整数｝称为高斯整数环，或者比较通俗地称之为复整数系统。一个通常的整数，例如4，在整数中因子分解与在复整数中因子分解可能产生完全不同的结果。在复整数中4有两种完全不同的分解：4=22=(1+3i)(1-3i)。甚至一个通常的素数p在复整数中存在非平凡的因子分解2=(1+i)(1-i)，5=(1+2i)(1-2i)，等等。但是3在复整数中没有非平凡的因子分解。问题：通常素数在复整数中有非平凡的因子分解的充分必要条件。提示：1与i是复整数分解中的平凡因子，而其它因子都是非平凡因子。注本题的答案：通常素数p在复整数中有非平凡的因子分解的充分必要条件是p=a2+b2，a、b∈Z。虽然解答并不复杂，但本题有两个重要意义：1.同一个元素在不同的数环中因子分解的结果可能不同；2.由本题产生的另一个重要的数论问题是，素数p能够表为两个整数的平方和的充要条件是什么？这一问题为2.4节与2.6节的欧拉2平方和定理与Lagrange4平方和定理提供了自然的问