近世代数期末考试试卷及答案

1近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1----------。3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8的零因子有-----------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为--------。2三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。3近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．)56)(1243(，)16524(1；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定4义11aa，因而R的任意元1bb这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。——————————————————————————————————————一．判断题(每小题2分,共20分)1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且,abH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若kae，则|nk.（）6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）8.设G是有限群，H是G的子群，则||||GGHH.（）9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统,G中，（）不是群.A.G为整数集合，为加法；B.G为偶数集合，为加法；C.G为有理数集合，为加法；D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类,,,HaHbHcH.如果H的阶为6，那么G的阶G（）A.6；B.24；C.10；D.12.513.设31,12,13,23,123,132,S，则3S中与元123不能交换的元的个数是A.1；B.2；C.3；D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）A.G=（a）与G的子群；B.整数加法群与模n的剩余类的加法群；C.变换群与置换群；D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是()。A.1个B.2个C.4个D.无限个三．填空题(每小题3分,共15分)16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群nS的阶是____________.18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.19.设N是G的正规子群，商群NG中的单位元是。20.若R是交换环,aR则主理想a____________.四．计算题(第21小题8分,第22小题12分，共20分)21.令123456654321，465132654321，453126654321，计算1,.22.设)}132(),123(),1{(H是3次对称群3S的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是3S的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)623.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则1aHa也是子群24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为{|}GgHgGH，证明：/GH对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合nMF在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)1-10××√√√√√√×√二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.1；17.!n；18.,1,,1nZnZnZn；19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分,第22小题12分，共20分)21.解：123456546213，4分71123456312645.8分22.解：H的所有左陪集为)}132(),123(),1{(H，12{(12),(13),(23)}H；4分H的所有右陪集为)}132(),123(),1{(H，12{(12),(13),(23)}H.对3S，有HH，即H是正规子群.12分五．证明题(每题10分,共30分)23.证明：因为H是G的子群，对任意,xyH，有1xyH.4分由题意，对任意,xyH，有1111,axaayaaHa，从而111111axaayaaxyaaHa，即1aHa也是子群.10分24.证明：首先GH对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.3分陪集HeH是它的单位元，,eHgHegHgHgH.7分又任意gH，有11gHgHeHgHgH，即1gH是gH的逆元.10分25.证明：nMF关于加法是封闭的，且满足结合律，3分零元是0nn，对任意nnnAMF，有0nnnnnnAA，即nnA的负元是nnA.nMF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是nnE.8分乘法关于加法的分配律成立.10分