近五年广东高考数学试题分析

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-1-近五年广东高考数学试题分析一、在模块的交汇处设计试题早在1993年，原国家教委考试中心首次提出：“在知识点的交汇处设计试题”，基本确定了高考数学试题命制的理论。这一提法得到了命题专家的认同，更得到了广大中学数学教师的赞许。在这一理论框架指导下，以后的数学试题避免了在难度上大起大落的现象发生，保持了一定的稳定性。纵观广东省近五年的高考数学试卷，在这方面的特点尤其显著：例1：04年17题已知角,,成公比为2的等比数列（[0,2]），sin,sin,sin也成等比数列，求,,的值。简解：由题意，可以设2,4，那么2sin2sin4cos2cos1sinsin2，则有cos1或1cos2当cos1时，sin0与等比数列概念矛盾，当1cos2时，[0,2]，所以23或43则248,,333或4816,,333试题特点：这是04年解答题的第一题，属于容易题。试题将三角函数变换与等比数列的有关概念糅合在一起，侧重于基础知识、基本能力的考查。例2：05年18题箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为:st现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望.简解：（Ⅰ）()(0,1,2,,)()kkstPkknst（Ⅱ）的数学希望为nnnntstntsstntssttssttssE)()()1(...)(2)(1011322…(1)高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-2-AyxOBGFF1图1111113322)()()1()()2(...)(2)(nnnnnntsnttsstntsstntssttsstEtst…(2)(1)－(2)得nnnnnntsnttstntsststE)()()1()(11试题特点：这是解答题的第四题，属于中档题目。试题的切入点在概率的分布列与等比数列中的“错位相减”交汇之处，设计新颖，令人叫绝。类似还有06年18题、07年文科19题等。在刚刚结束的2008年高考中，依然延续了这种命题风格。例3：08年理科18题设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．如图1所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．简解：（1）由28()xyb得218yxb，G点的坐标为(4,2)b，1'4yx，4'|1xy，那么过点G的切线方程为2yxb，令0y得2xb，∴1F(2,0)b，那么2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。试题特点：从07年开始，广东省的高考试题是按新课程标准命制的。新的课程标准打破了原来教材的编排顺序，采取不同的模块制。各个模块之间即相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之间相互交叉渗透。相对于原来版本的教材，在这种模块式的划分下，知识的体系显得松散了一些，这是新课程标准实施过程中广大一线教师颇感困惑之处，也是导致新课程标准屡屡遭受“炮轰”的原因之一。怎样才能继续保持“在知识网络交汇处”命制试题的原则又能体现新课程标准的精神？广东的数学试题提供了一种可操作的模式：注意模块之间的交叉。此题目涉及的知识点有必修1中函数的零点（方程的根）、选修2-1中的椭圆标准方程及其几何性质以及导数、选修2-2中的推理与证明等。题目不难，典型的“多想少算”，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-3-跨越的模块多，考生感到不适应，得分率偏低。再如08年高考文科18题、理科20题，涉及到必修2中的立体几何初步以及必修5中的解三角形，考生与教师均感到“出呼意料之外”。备考建议：“三轮”的复习方案具有一定的科学性，鉴于新课程标准的特点，第一轮复习应该适当降低难度，首先解决本模块的基础知识、基本技能，跨模块的综合问题不易过早涉及。第二轮复习要做重大调整，要将各个模块知识重新组合成若干专题，避免“深挖洞”：控制难度，应该“广积粮”：进行模块的交叉与综合。要注意，当前的许多参考书籍是不适合作为新课程实施地区备考复习资料的。教师要精选素材，注重模块的综合与交叉。从广东省近五年试题来看，在模块的交汇处命制的题目不一定是难题，甚至是命题专家眼中的“容易题”，如果我们不进行针对性训练，那么这种“容易题”就成了考生升学道路上的“拦路虎”。广大一线数学教师要进行教学反思，发挥群体智慧，从“模块的交汇”这一视角出发，或自行命制，或将成题巧妙组合，作到推陈出新。这样，才是大面积提高教学质量的有效途径。二．重点知识与数学思想方法------常考常新高考命题，不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，这是当前高考数学试题的另一个特色。重点知识：是那些在整个高中数学知识体系中的主干；重要方法：就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法。将这些“陈旧”的知识点与思想方法设计成新颖的数学试题，整个试卷才会显得“骨骼强大”、“肌肉丰满”。例4：07年理科20题已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间11，上有零点，求a的取值范围．简解：命题组与评卷组提供的解法有七八种之多，大多数都比较繁杂。这里提供一种简洁的方法。将函数解析式变形为2(21)23axxy，令2210x则23yx，即曲线2()223fxaxxa不论a取任何实数均经过定点2(,23)2M、2(,23)2N，那么当0a时，显然不符合要求；当0a时，曲线恒有两个零点，由于此时对称轴102xa，所以要使得在区间11，有零点，当且仅当(1)0f，即；1a当0a时，首先应有0，解之有372a或3702a，如果372a，那么有11202237a，所以在区间11，上有两个不同的零点；高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-4-如果3702a，由于此时(1)10fa，所以在区间11，上无零点。综上，实数的取值范围为1a或372a。试题特点：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式（俗称：二次情结）是每年的重点考查内容，集重点、难点与一身。涉及到的数学思想方法有：分类讨论、数形结合等。备考建议：重要的知识点与数学思想方法的重复考查，早已引起广大一线教师的重视。在这方面，我们只须完善传统做法，与时俱进，注入新课程标准的理念。注意通性通法，适度淡化证明，演绎推理与归纳推理并重。在历年的高考试题或者模拟试题中，不乏这方面的精品，可以推陈出新，精讲多练，就能够取得事半功倍的效果。三．注重对学生阅读能力的考查数学是文化，学会用数学的视角来分析周围的事物，是数学教育的目的之一。数学解题的本质其实就是三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）的转换过程，也就是需要考生具备一定的数学阅读能力。高考侧重于能力的考查，而阅读能力又是数学能力的基础。例5：07年理科7题图2是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给ABCD，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将ABCD，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）Ａ．15Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．18简解：B试题特点：此题目的背景为日常社会生活中的物流调配问题，文科作为第10小题（选择题最后一题）考查。数据分析显示，对于理科考生，属于难题，相对于文科考生来说，已经是“高”难题了。本题需要考生将文字语言、图形语言翻译成符号语言，然后运用数学知识解决问题。类似的考题还有04年12题、05年7题、06年7题等。备考建议：新的课程标准明确提出在教学过程中要培养学生数学阅读暨三种语言的转换能力。在第一轮复习时要注意渗透，在第二轮复习过程中应该搞一个专题。函数记号、图象、立体几何中点线面之间的位置关系、三视图、应用问题、新定义问题等都是训练学生阅读能力的好素材。四．承上启下的明显特点：新课程标准有两个含义：其一，继义务教育之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；其二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。2008年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）指出：数学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，…，ADCB图2高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-5-要考查考生进入高等学校继续学习的潜能。所以高中数学学习既是初中的延续也是大学学习的起点，那么高考数学试题也应具有这些特点。1．初、高中知识与方法的衔接当前，初高中数学学习衔接矛盾日益突出。如何搞好衔接是一个非常值得研究的课题。作为高中数学教师一定要了解初中教材的变化情况以及教学目标甚至教学方法，将衔接落实到课堂上，有实际行动，这样才能使得学生较快适应高中数学学习。事实上，初中数学教材远比高中“灵活”、“多动”，平面图形的变换、镶嵌等动态问题是初中数学教材的亮点。例6：05年第20题（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图3所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.解解：（Ⅰ）当0k时，12y；当0k时，21(20)2kykxk；（Ⅱ）当22k时，折痕长有最大值：2(62)。试题特点：这是2005年高考的压轴题目，本题可以认为是源于一道初中数学试题：矩形纸片ABCD，2,1ABBC。将边AD沿经过点D的某条线段折起，使得点A恰好落在边CD上，求折痕长。高考试题只是将题目中的折痕要求放宽，成就了这道少有的精彩试题。本题所考查的内容已经不是简单的知识点，而是考生解决问题的能力，其实就是动手操作能力。取一张满足要求的纸片，经过折叠，很容易确定需要分以下四种情况230k、0k、123k、21k分别进行讨论。2．具有明显的高等数学背景例7：07年理科第20题已知函数2()1fxxx，，是方程()0fx的两个根（），()fx是()fx的导数，设11a，1()(12)()nnnnfaaanfa，，．O(A)BC