画法几何及土木工程制图立体的投影

第四章立体的投影我们把这些简单的几合体称为基本几何体，有时也称为基本形体，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体。在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔）及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或相交等形式组合而成。基本几何体（按照其表面的组成）平面立体：表面全部由平面围成的几何体（简称平面体）曲面立体：表面全部由曲面或曲面与平面围成的几何体（简称曲面体）第一节平面立体的投影•一、平面立体的投影平面立体的表面都是平面多边形，凡是带有斜面的平面体统称为斜面体，如棱锥、棱台等。绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各多边形表面，即绘制各棱线和各顶点的投影。在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表示，不可见棱线用虚线表示，以区分可见表面和不可见表面。（一）棱柱体（1）形体特征:棱柱的各棱线互相平行，底面、顶面为多边形。棱线垂直顶面时称直棱柱，棱线倾斜顶面时称斜棱柱。（2）安放位置:安放形体时要考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面。（3）投影分析（二）棱锥体（1）形体特征:底面是多边形，棱线交于一点，侧棱面均为三角形。（2）安放位置:底面△ABC平行于H面。（3）投影分析【例4-1】作四棱台的正投影图解：（1）分析（2）作图1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小的类似形。4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小的类似形。5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。•二、平面立体上点和直线的投影即在其表面上取点、取线的作图问题其作图的基本原理就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。求解方法有：（一）从属性法当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性”求解。（二）积聚性法当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。（三）辅助线法【例4-2】已知三棱柱的三面投影及其表面上的点M和N的正面投影m‘和n’，求作它们的另两个投影。分析：根据已知条件，M点必在三棱柱前右侧的棱面上（因m'可见），而N点必在三棱柱的后棱面上（因n'不可见）。作图：利用棱柱各棱面的水平投影有积聚性，可向下引投影连接，直接找到两点的水平投影m和n，然后即可按投影规律求出这两点的侧面投影m和n。【例4-3】如下图所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M、N的正面投影，求出另外两面投影。解：（1）分析（2）作图【例4-4】已知三棱锥的三面投影及其表面上点K的正面投影k‘和点L的水平投影l,求出它们的别两个投影。1、分析2、作图（1）利用过锥顶S的辅助线求K点各投影（2）利用过L点且平行于底边的直线为辅助线求L点的各投影【例4-5】如左图所示，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线段的其它投影。下面列出了一些工程中常见到的平面立体的投影图和立体图，可按前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面立体投影的表达方法和规律。第二节曲面立体的投影•一、基本概念由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥、球和环是工程上常见的曲面立体。（一）曲线曲线曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）。空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。•二、曲面立体的投影（一）圆柱体的投影（1）形体分析圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的。（2）安放位置我们只研究圆柱轴线垂直于某一投影面，底面、顶面为投影面平行面的情况。（3）投影分析H面投影：V面投影：W面投影：（4）作图步骤1）用点划线画出圆柱体各投影的轴线、中心线；2）有直径画水平投影圆；4）由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。3）由“长对正”和高度作正面投影矩形；注意：非轮廓线的素线投影不必画出。（二）圆锥体的投影（1）形体分析圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的。（2）安放位置当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投影轮廓也随之确定。如右图所示，圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面。（3）投影分析H面投影V面投影W面投影（4）作图步骤⑴用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；⑵画出底面圆的三面投影。底面为水平面，水平投影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长度等于底圆直径；⑶依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影。⑷画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。（三）圆球体的投影1、投影分析圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直径与球径相等。H面投影的圆a是V面投影的圆b是W面投影的圆c是2、作图步骤⑴用点划线画出圆球体各投影的中心线⑵以球的直径为直径画三个等大的圆，如右图所示。bac三、曲面立体上点和直线的投影（一）圆柱面上的点和线1．圆柱面上点的投影如右图所示，若已知圆柱面上两点A和B和正面投影a'和b'，求出它们的水平投影a、b和侧面投影a、b。分析：根据已知条件a'可见，b'不可见，可知A点在前半个圆柱面上；B点在后半个圆柱面上。利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到a和b，然后根据已知二投影求出a″和b″。由于A点在左半圆柱面上，所以a″为可见；而B点在右半圆柱面上，所以b″为不可见。2．圆柱面上线的投影【例4-5】如下图所示，已知圆柱面上的AB线段的正面投影a′b′，求其另两面投影。解：（1）分析（2）作图（二）圆锥面上的点和线1．圆锥面上点的投影圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种：方法一：素线法。【例4-6】如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影a′，求a、a″。解：（1）分析（2）作图方法二：纬圆法。【例4-7】如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析（2）作图2．圆锥表面上线的投影【例4-8】如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。解：（1）分析（2）作图（三）圆球体上的点和线1．圆球体上的点由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方便，常沿投影面的平行面作相应投影面的纬圆，这样过球面上任一点可以得到H、V、W三个方向的纬圆。因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影。【例4-9】如下图所示，已知球面上的一点A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析由a′得知A点在左上半球上，可以利用水平纬圆解题。（2）作图2．圆球体上的线【例4-10】如右图所示，已知属于球体上的点A、B、C及线段EF的一个投影，求其另两个投影。解：（1）分析（2）作图小结：求曲面上点的投影的方法主要有素线法和纬圆法两种，在采用这两种方法时应着重弄清以下概念：（1）某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上。（2）求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影。（3）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的形成规律和特性。第三节立体表面交线的投影•一、立体表面的截交线平面与锥面的交线圆柱面与锥面的交线我们把假想用来截割形体的平面，成为截平面。截平面与形体表面的交线称为截交线。截平面截交线围成的平面图形称为截面（或断面）。截交线截交线断面平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性：1．截交线的形状一般都是封闭的平面多边形或曲线。2．截交线是平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。•（一）平面立体截交线平面立体截交线的特征：平面立体截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。截平面截交线截交线断面求作平面立体截交线的方法有两种方法：（1）交点法：即先求出平面立体的棱线、底边与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。连接各交点有一定的原则：只有两点在同一个棱面上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。（2）交线法：即求出平面立体的棱面、底面与截平面的交线。1、棱柱上的截交线【例4-11】如下图所示，求作四棱柱被正垂面截断后的投影。解：（1）分析（2）作图（3）求作截断面的实形2．棱锥上的截交线【例4-12】求作正垂面P截割三棱锥S-ABC所得的截交线。解：（1）分析（2）作图（2）作图【例4-13】如图4-25所示，求作铅垂面Q截割三棱锥S-ABC所得的截交线。解：（1）分析3．带缺口的平面立体的投影画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚。而画切口轮廓线的投影，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，切口的截交线就是由数条截交线组合而成。例：完成带切口的四棱柱的投影（图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗实线表示留下的部分）。解：（1）分析（2）作图【例4-14】如右图所示，已知三棱锥及其上缺口的V面投影，求H面和W面投影。解：（1）分析（2）作图•（二）曲面立体截交线（1）平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线。（2）截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点。求曲面立体截交线的方法：求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线。求共有点的方法有：素线法、纬圆法和辅助平面法。曲面立体截交线的特征：平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线有三种情况1．圆柱上的截交线圆柱面上的截交线截平面P的位置截平面垂直于圆柱轴线截平面倾斜于圆柱轴线截平面平行于圆柱轴线截交线空间形状圆椭圆两条平行直线投影图【例4-15】如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线。解：（1）分析（2）作图1）求特殊点。这些点包括轮廓线上的点、特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴的端点。2）求一般点。为了作图准确，在截交线上特殊点之间选取一些一般位置点。3）连点。将所求各点的侧面投影顺次光滑连接4）判别可见性。2．圆锥上的截交线当平面与圆锥截交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可产生五种不同形状的截交线：截平面p位置截平面垂直于圆锥轴线截平面与锥面上所有素线相交截平面平行于圆锥面上一条素线截平面平行于圆锥面上两条素线截平面通过锥顶截交线空间形状圆椭圆抛物线双曲线两条素线投影图圆锥面上的截交线【例4-16】如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面P的投影，求截交线的投影及实形。解：（1）分析（2）作图1）求长轴端点2）求短轴端点3）求最前、最后素线与P面的交点E、F4）求一般点L、N5）连接各点并判别可见性6）求截面的实形【例4-17】如下图所示，求作侧平面Q与圆锥的截交线。解：（1）分析（2）作图3．球上的截交线球体上的截面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆。截平面距球心的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆。（1）球上截交线的特征：（2）球上截交线的投影分析4．带缺口的曲面立体的投影【例4-18】如下图所示，给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影。解：（1）分析（2）作图1）求特殊点。2）求一般点。【例4-19】如下图所示，求切割后圆锥的投影。解：（1）分析（2）作图1）求特殊点2）求一般点3）连点并判别可见性【例4-20】如下图所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水平投影及侧面投影。解：（1）分析（2）作图•二、立体表面