选修1-2第二章推理与证明答案

第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.2.1.1合情推理1．下面使用类比推理恰当的是(C)．A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析由实数运算的知识易得C项正确．2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于(B)1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色(A)．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．4．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为(A)．A．3B．－3C．6D．－6解析a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.5．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2007(x)等于(D)．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…可以归纳出：f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N＋)，∴f2007(x)＝f3(x)＝－cosx.6．下列推理正确的是(D.)．A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x0，y0)；B错误，因为sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny；对于C，则有(x＋y)n＝C0nxn＋C1nxn－1·y＋…＋Crn·xn－r·yr＋…＋Cnnyn；D正确，为加乘法的结合律7．如果数列{an}的前n项和Sn＝32an－3，那这个数列的通项公式是(D)．A．an＝2(n2＋n＋1)B．an＝3·2nC．an＝3n＋1D．an＝2·3n当n＝1时，a1＝32a1－3，∴a1＝6，由Sn＝32an－3，当n≥2时，Sn－1＝32an－1－3，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32an－32an－1，∴an＝3an－1.∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.8．设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为__23，24，25__．猜想xn＝_2n＋1解析x2＝f(x1)＝21＋2＝23，x3＝f(x2)＝12＝24x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25，∴xn＝2n＋1.9．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数,用关于n的等式表示为(n＋2)2－n2＝4n＋4．解析由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)试求第七个三角形数是___28_____．解析观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，∴当n＝7时，7×7＋12＝28.11．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质．性质①__________六条棱长相等_____________________________；性质②____________四个面都全等___________________________12．若数列{an}的通项公式an＝1n＋12，记f(n)＝(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．解f(1)＝1－a1＝1－14＝34，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·1－19＝34·89＝23＝46，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·1－116＝23·1516＝58.由此猜想：f(n)＝n＋22n＋1.2.1.2演绎推理1．下面几种推理过程是演绎推理的是(A)．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式解析C是类比推理，B与D均为归纳推理．2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是(D)．A．①B．②C．①②D．③解析大前提为①，小前提为③，结论为②.3．“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝x是对数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)．”上面推理错误的是(A)A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析y＝logax，当a1时，函数是增函数；当0a1时，函数是减函数．4．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是(C)．A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错由三段论推理概念知推理正确．5．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是a2________b2＋c2(填“”“”或“＝”)．解析由cosA＝b2＋c2－a22bc0知b2＋c2－a20，故a2b2＋c2.6．在推理“因为y＝sinx是0，π2上的增函数，所以sin37πsin2π5”中，大前提为__y＝sinx是0，π2上的增函数小前提为____37π、2π5∈0，π2且3π72π5结论为_________sin3π7sin2π57．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是A．1B．2C．3D．4(B)①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提一次函数的图象是一条直线______；小前提__________________函数y＝2x＋5是一次函数结论_________________________函数y＝2x＋5的图象是一条直线9．“如图，在△ABC中，ACBC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD∠BCD”．证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，ACBC，①所以ADBD，②于是∠ACD∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是__③______．(只填序号)解析由ADBD，得到∠ACD∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“ADBD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．10．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．11．已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0得，f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解设x1，x2∈R且x1x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，∵x0时，f(x)0，∴f(x2－x1)0，即f(x2)－f(x1)0，∴f(x)为减函数．∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，∴函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.2.2.1综合法和分析法1．已知yx0，且x＋y＝1，那么(D)A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2yC．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y解析∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38，∴x2xyx＋y2y，故选D.