选修2-3教案2.2.3二项分布

§2.4二项分布（1）教学目标（1）理解n次独立重复试验的模型（n重伯努利试验）及其意义。（2）理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题。教学重点，难点二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列．教学过程一．问题情境1．情景射击n次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p是不变的；抛掷一颗质地均匀的筛子n次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出“5”的概率p都是16；种植n粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%。2．问题上述试验有什么共同特点？二．学生活动由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，每次试验中()0PAp。三．建构数学1．n次独立重复试验一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中()0PAp。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。思考：在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p，那么，在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率是多少？我们先研究下面的问题：射击3次，每次射中目标的概率都为0p。设随机变量X是射中目标的次数，求随机变量X的概率分布。分析1这是一个3次独立重复试验，设“射中目标”为事件A，则(),()1PApPAp（记为q），用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。（图略）由树形图可见，随机变量X的概率分布如下表所示。X0123P3q23pq23pq3p分析2在Xk时，根据试验的独立性，事件A在某指定的k次发生时，其余的(3)k次则不发生，其概率为3kkpq，而3次试验中发生k次A的方式有3kC种，故有33(),0,1,2,3kkkPXkCpqk。因此，概率分布可以表示为下表X0123P033Cq123Cpq223Cpq333Cp一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为(01)pp，即(),()1PApPApq。由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余nk次不发生的概率为knkpq。又由于在n次试验中，事件A恰好发生k(0)kn次的概率为(),0,1,2,,kknknnPkCpqkn。它恰好是()nqp的二项展开式中的第1k项。2．二项分布若随机变量X的分布列为(),kknknPXkCpq其中01,1,ppq0,kn则称X服从参数为n，p的二项分布，记作(,)XBnp。四．数学运用1．例题例1：求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。分析将一枚均匀硬币随机抛掷100次，相当于做了100次独立重复试验，每次试验有两个可能结果，即出现正面()A与出现反面()A，且()0.5PA。解设X为抛掷100次硬币出现正面的次数，依题意，随机变量(100,0.5)XB，则50501005050100100100(50)0.58%PXCpqC。答随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率约为8%。思考：“随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次反面”的概率是多少？例2：设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，问：该公司赔本及盈利额在400000元以上的概率分别有多大？解设这10000人中意外死亡的人数为X，根据题意，X服从二项分布(10000,0.006)B：10000()0.006(10.006)kknkPXkC，死亡人数为X人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为(120)X万元。由上述分布，公司赔本的概率为120120100001000000(1200)1(120)1()10.0060.9940kkkkkPXPXPXkC。这说明，公司几乎不会赔本。利润不少于400000元的概率为8080100001000000(12040)(80)()0.0060.9940.994kkkkkPXPXPXkC，即公司约有99.4%的概率能赚到400000元以上。例3．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。分析：由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义，据此正确地计算概率p。解：X可能的取值为0,1,2,3这四个数，而Xk表示，共取了1k次零件，前k次取得的都是次品，第1k次取到正品，其中0,1,2,3k。当0X时，第1次取到正品，试验中止，此时191123(0)4CPXC；当1X时，第1次取到次品，第2次取到正品，11391112119(1)44CCPXCC；当2X时，前2次取到次品，第3次取到正品，1113921111211109(2)220CCCPXCCC；当3X时，前3次将次品全部取出，1113211111211101(3)220CCCPXCCC。所以X的分布列为X0123P34944922012202．练习课本63P页第1，2，3题五．回顾小结：1．n次独立重复试验的模型及其意义；2．二项分布的特点及分布列．