选修2-3教案231离散型随机变量的均值

§2.3.1离散型随机变量的均值教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学过程一．问题情境1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,XX表示，12,XX的概率分布如下．1X0123kp0.70.10.10.12X0123kp0.50.30.202．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二．学生活动1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2．学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三．建构数学1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...nnxpxpxp计算样本的平均值，其中ip为取值为ix的频率值．类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下：X1x2x…nxP1p2p…np其中，120,1,2,...,,...1inpinppp，则称1122...nnxpxpxp为随机变量X的均值或X的数学期望，记为()EX或．2．性质（1）()Ecc；（2）()()EaXbaEXb．（,,abc为常数）四．数学运用1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布(5,10,30)H．解：由2．2节例1可知，随机变量X的概率分布如表所示：X012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()0123451.66672375123751237512375123751237513EX答：X的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()rnrnMNMnrNrCCMEXnCN．例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望()EX．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)XB，1010()(1),0,1,2,...,10kkkkPXkpCppk随机变量X的概率分布如表所示：X012345kp001010(1)Cpp11910(1)Cpp22810(1)Cpp33710(1)Cpp44610(1)Cpp55510(1)CppX678910kp66410(1)Cpp77310(1)Cpp88210(1)Cpp99110(1)Cpp1010010(1)Cpp故100()0.5kkEXkp即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)XBnp时，()EXnp．例3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,AB在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“4X”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两互斥．4400044411112(4)()()()()222216PXCC；（2）事件“5X”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216PXCC（3）类似地，事件“6X”、“7X”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216PXCC，33633363661111115(7)()()()()22222216PXCC比赛场数的分布列为X4567P216416516516故比赛的期望为2455()45675.812516161616EX（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．2．练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费3800元；方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五．回顾小结：1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．