选修2-2第一章测试

第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析y＝f(x)在(a，b)上f′(x)0⇒y＝f(x)在(a，b)上是增函数，反之，y＝f(x)在(a，b)上是增函数⇒f′(x)≥0⇒/f′(x)0.答案A2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在解析曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝－20.答案B3．曲线y＝13x3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．150°解析y′＝x2，k＝tanα＝y′|x＝－1＝(－1)2＝1，∴α＝45°.答案B4．曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为()A．(0，－1)或(1,0)B．(1,0)或(－1，－4)C．(－1，－4)或(0，－2)D．(1,0)或(2,8)解析设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x20＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝sin2xB．y＝x3－xC．y＝xexD．y＝－x＋ln(1＋x)解析对于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)0.答案C6．已知f(x)为偶函数，且06f(x)dx＝8，则－66f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16解析∵f(x)为偶函数，且(－6,0)与(0,6)关于原点对称，∴－66f(x)dx＝－66f(x)dx＋06f(x)dx＝206f(x)dx＝2×8＝16.答案D7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图像如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图像为()解析由y＝f(x)的图像知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图像与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D.答案D8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有()A．极大值5，极小值为－27B．极大值5，极小值为－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．当x－1时，f′(x)0，当－1x3时，f′(x)0.∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案C9．函数y＝2x3＋x2的单调递增区间是()A．(－∞，－13)∪(0，＋∞)B．(－16，＋∞)C．(－∞，－13)和(0，＋∞)D．(－∞，－16)解析y′＝6x2＋2x＝2x(3x＋1)，令y′0，得x－13，或x0.∴函数y＝2x3＋x2的单调增区间为(－∞，－13)和(0，＋∞)．答案C10．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为()A.23B．1C.43D.53解析如图所示，阴影部分的面积为S1＝0－1(x2－x)dx＝(13x3－12x2)0－1＝56.S2＝01(x2－x)dx＝－(13x3－12x2)10＝16，故所求的面积为S＝S1＋S2＝1.答案B11．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1a处有极值，则ac＋2b的值为()A．－3B．0C．1D．3解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，依题意知，3a×(1a)2＋2b×1a＋c＝0，即3a＋2ba＋c＝0，∴2b＋ac＝－3.答案A12．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.92e2B．4e2C．2e2D．e2解析f′(x)＝12e12x，∴曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为k＝f′(4)＝12e2，切线方程为y－e2＝12e2(x－4)．切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴所围成的三角形OAB的面积为S＝12×2×e2＝e2.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数f(x)在R上可导，且f′(0)＝2.∀x，y∈R，若函数f(x＋y)＝f(x)f(y)成立，则f(0)＝________.解析令y＝0，则有f(x)＝f(x)f(0)∵f′(0)＝2，∴f(x)不恒为0，∴f(0)＝1.答案114．积分253x2dx＝________.解析253x2dx＝x352＝53－23＝117.答案11715．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2＋2x＋5，则f′(2)＝________.解析∵f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2.∴f′(1)＝1.∴f′(x)＝x2－2x＋2.∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2.答案216．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4s内经过的路程是________．解析48(9.8t＋6.5)dx＝(4.9t2＋6.5t)84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.答案261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝13x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．解f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)减区间为(－2,2)．(1)当x＝－2，f(x)取得极大值，故f(－2)＝－83＋8＋m＝283，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x3－4x＋4，又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.由3.2－2x0，x0，解得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1，或x＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x＝1使y′＝0，且x＝1是极大值点，∴当x＝1时，y取得最大值为1.8.此时容器的高为3.2－2＝1.2m.因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3.19．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；(2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值．解(1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，∴f(x)为R上的单调增函数．(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，∴3a－1＝4，∴a＝531(舍去)；②当1a3时，f(x)在(1，a)上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f(a)＝2a3－3(a＋1)a2＋6a2＝4.化简得(a＋1)(a－2)2＝0，∴a＝－11(舍去)，或a＝2；③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，∴54－27(a＋1)＋18a＝4，解得a＝2293(舍去)．综上可知，a＝2.20．(2010·北京)(12分)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4.(1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1,4，∴a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0，(*)(1)当a＝3时，由(*)得2b＋c－6＝0，8b＋c＋12＝0，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，解a0，Δ＝9a－1a－9≤0，得a∈[1,9]，即a的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．(1)求实数a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．解(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①又f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－19)＝－1，得3a＋2b＝9②由①、②解得a＝1，b＝3.(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3，∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．22．(2010·全国Ⅰ)(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.解(1)f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1.当0x1时，g′(x)0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，当0x1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋1x－1)＝lnx－x(ln1x－1x＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.