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自动控制原理第二章控制系统的数学模型系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型。常用的数学模型为微分方程。第二章控制系统的数学模型自动控制原理第二章控制系统的数学模型建立系统数学模型的方法，一般采用解析法和实验法。所谓解析法，即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证，从而建立系统的数学模型。实验法是对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。自动控制原理第二章控制系统的数学模型线性定常系统的数学模型微分方程传递函数频率特性脉冲传递函数状态方程微分方程传递函数频率特性自动控制原理第二章控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立首先必须了解系统的组成、工作原理，然后根据支配各组成元件的物理定律，列写整个系统输入变量与输出变量之间的动态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤：①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量（变量）之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。自动控制原理第二章控制系统的数学模型②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。③对已建立的原始方程进行处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。④消除中间变量，写出关于输入、输出变量之间关系的数学表达式，即微分方程。自动控制原理第二章控制系统的数学模型CRur(t)uc(t)i(t)根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。rcc()()()1()()dutRitututittC输入量为电压ur(t),输出量为电压uc(t)i(t)为流经电阻R和电容C的电流，消去中间变量i(t)，可得自动控制原理第二章控制系统的数学模型ccrd()()()dutRCututt令RC=T，则上式又可写为ccrd()()()dutTututt式中：T称为无源网络的时间常数,单位为秒(s)一般情况下把输出变量写在等式的左边,输入变量写在等式的右边。自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.1拉氏变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。自动控制原理第二章控制系统的数学模型微分方程初始条件方程的解代数方程方程的解拉氏变换拉氏反变换t域s域用拉氏变换解微分方程示意图自动控制原理第二章控制系统的数学模型一、拉氏变换的定义和存在定理1.定义设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分0()edstftt()js为复变量存在，则由此积分所确定的函数可写为-0()()edstFsftt自动控制原理第二章控制系统的数学模型()[()]FsftLF(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作1()[()]ftFsL称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.拉普拉斯变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：在t≥0的任一区间上分段连续。在t充分大后满足不等式|f(t)|≤Mect，其中M、c都是实常数。则f(t)的拉氏变换在平面上Re(s)c一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。-0()()edstFsftt自动控制原理第二章控制系统的数学模型二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(t)数学表达式为其拉氏变换为tOf(t)1000()[()]()ed1111ede[01]stststFsftftttsssL10()1()00tfttt≥自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.单位斜坡函数tOf(t)斜率=1数学表达式为0()1()00ttftttt≥其拉氏变换为00002()[()]()eded111eed001ststststFsftftttttttssssL自动控制原理第二章控制系统的数学模型3.等加速函数tOf(t)数学表达式为其拉氏变换为210()200ttftt≥200200231()[()]()eded211eed211100ststststFsftftttttttssssL自动控制原理第二章控制系统的数学模型4.指数函数e-at数学表达式为其拉氏变换为e0()()00attaftt≥为实数0()0()eeed1edatatstsatFsttsaL自动控制原理第二章控制系统的数学模型5.正弦函数sint正弦函数定义为sin0sin00tttt≥其拉氏变换为0jj022()[sin]sined1eeed2j1112jjjstttstFsttttsssL自动控制原理第二章控制系统的数学模型6.单位脉冲函数(函数)函数的表达式为0()()d100ttttt且tO(t)其拉氏变换为0()[()]()ed1stFstttL自动控制原理第二章控制系统的数学模型三、拉氏变换的基本法则1.线性法则设F1=L[f1(t)]，F2=L[f2(t)]，a和b为常数，则有121212[()()][()][()]()()aftbftaftbftaFsbFsLLL自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.微分法则设F=L[f(t)]，则有d()()(0)dftsFsftL222d()()(0)(0)dftsFssfftL式中：f(0),f(0),…,f(n-1)(0)为f(t)及其各阶导数在t=0处的值。()1(1)[()]()(0)(0)nnnnftsFssffL自动控制原理第二章控制系统的数学模型3.积分法则设F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，则有1()d()fttFssL自动控制原理第二章控制系统的数学模型4.终值定理若F(s)=L[f(t)]，且当t时，f(t)存在一个确定的值，则其终值0lim()lim()tsftsFs该式为求系统的稳态误差（即t）提供了方便。0()lim()lim()tseetsEs自动控制原理第二章控制系统的数学模型5.位移定理设F(s)=L[f(t)]，则有00()e()sftFsL及e()()atftFsaL分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。自动控制原理第二章控制系统的数学模型四、拉氏反变换拉氏反变换的定义如下j1j1()()()ed2πjstFsftFstL一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。自动控制原理第二章控制系统的数学模型F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一般式为1011111()mmmmnnnnbsbsbsbFssasasa式中a1、a2、…、an及b1、b2、…、bm为实数，m、n为正数，且mn。如果F(s)可分解成下列分量12()()()()nFsFsFsFs自动控制原理第二章控制系统的数学模型并且F1(s)、F2(s)、…、Fn(s)的拉氏反变换可以很容易地求出，则11111212()()()()()()()nnFsFsFsFsftftftLLLL自动控制原理第二章控制系统的数学模型例2.1求的拉氏反变换。22()43sFsss解：222()43(1)(3)1/21/213ssFsssssss进行反变换得311()ee22ttft自动控制原理第二章控制系统的数学模型五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：①对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是t=0-时的值。②解代数方程，求出象函数的表达式。③用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。自动控制原理第二章控制系统的数学模型例用拉氏变换求解微分方程。0()2()()0,(0)0,(0)xtxtxtxxx解：对微分方程两端进行拉氏变换2()(0)(0)2()2(0)()0sXssxxsXsxXs代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式022()21sXsxss自动控制原理第二章控制系统的数学模型将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照表，求出x(t)。0020()(1)1()(1)(0)txxXsssxtxtet≥自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.2传递函数微分方程输出相应给定外作用和初始条件(计算机求解)结构或参数变化时全部信息传递函数自动控制原理第二章控制系统的数学模型一、传递函数的概念及定义CRur(t)uc(t)i(t)ccrd()()()dutTututt无源RC网络的微分方程为设初始值uc(0)=0，对上式取拉氏变换,得ccrcr()()()(1)()()TsUsUsUsTsUsUs自动控制原理第二章控制系统的数学模型cr1()()1UsUsTscr()()()UsGsUs令1()1GsTs则cr()()()UsGsUs传递函数自动控制原理第二章控制系统的数学模型G(s)Ur(s)Uc(s)传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为系统(或元部件)的传递函数。自动控制原理第二章控制系统的数学模型设线性定常系统的微分方程一般式为10111011ddddddddnnnnnmmmmmactactactttbrtbrtbrttt式中c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bm均为系统结构参数决定的常数。自动控制原理第二章控制系统的数学模型设所有初始条件均为零的条件下，对上式两端进行拉氏变换，得101101()()nnnmmmasasaCsbsbsbRs按照定义得系统的传递函数101101()()()mmmnnnbsbsbCsGsRsasasa自动控制原理第二章控制系统的数学模型二、对传递函数的说明1.传递函数是复域(s域)中的一个表达式，它通过系统结构参数使线性定常系统的输出和输入建立联系，而与输入形式无关。只适用于线性定常系统。2.传递函数分母多项式阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m，这是由于系统中含有较多的储能元件及受能源的限制所造成的。分母多项式的最高阶次为n，称该系统为n阶系统。如n＝1、2，称为一、二阶系统。自动控制原理第二章控制系统的数学模型3.传通函数只描述系统输入-输出之间的关系，但不反映系统内部结构的任何信息。因此，不同的物理系统完全可能有相同形式的传递函数，这就给数学模拟创造了条件。4.同一系统不同观测点的输出信号对不同作用点的输入信号之间的传递函数的形式具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多项式称为特征式，记为