论数学创造性思维及其培养

、浅谈数学创造性思维及其培养1摘要数学创造性思维应具有思维的独创性、思维的深刻性、思维的广阔性以及思维的灵活性。为适应面向21世纪科技飞速发展和经济建设的需要，对学生加强数学创造性思维培养和数学素质教育具有十分的重要性、紧迫性和必要性。那么，如何培养学生的数学思维能力，从而培养出有创新能力的学生呢?这是个值得思考和探讨的问题。关键词：创新；数学创造性；思维2引言思维是大脑对外界事物的间接、概括的反映。思维活动是认识的高级阶段，包括分析、综合、抽象、概括、比较、归纳、演绎等成分。创造性思维是最高层次的思维活动，是一种能得到独特而有显著效果的思维活动。所谓创造性思维是指有创见性的思维。人们通过这种思维不仅可以揭示出事物的本质及其内在联系，而且还能在此基础上产生新颖的、独创的、有实际社会意义的思维[1]。数学就是建立在社会实践之上由思维而构造的一种模式，其本身就是一个不断创造的过程。数学史告诉我们，从自然数开始的一切数学知识、数学方法、数学理论都是人类经过漫长的历史过程，不断改进、不断探索、不断思维创造出来的。可以说，数学上的新概念、新理论、新模型、新方法等都是数学创造性思维的结果。如解析几何、微积分、非欧几何等都是数学创造性思维的成果。学生数学创造性思维是个体在强烈的创新意识指导下，把头脑中已有的知识信息重新组合，产生具有一定意义的新发现、新设想及与众不同的方法。这种设想或方法或许是已经有的，但是与课本写的、教师讲的不同，难以在学生的知识仓库中找到现成的答案。一、数学创造性思维的特点传统的数学教育强调逻辑思维，逻辑思维比较注重分析、注重细节的逻辑推理。数学逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理和证明。从数学思维方法角度讲是属于整理数学知识和证明数学结论的方法。这种思维方法虽然保证了人们在严格逻辑推演的基础上实现新的突破、建构新的知识，同时又提高了思维成果的可靠性，但是它却忽视了预感、猜想、直觉与顿悟等非逻辑思维能力的培养，从某种程度上抑制了学生的创新意识和创新能力的形成，特别是削弱了数学教育培养学生创造性思维能力的功能。在以往的教学中，很多教师忽略了对学生创造性思维能力的培养，教师只重结果，不重思维过程只重成绩，不重能力造成学生只会机械模仿，不会灵活运用。传统的教学方法严重的束缚了学生的主观能动性，抑制着学生创造思维能力的发展。创造性思维不同于一般的数学思维之处，在于它发挥了人脑的整体工作和下意识活动能力，发挥了数学中形象思维、灵感思维的综合作用。因而，它能按最优化的数学方法与思路，不拘泥于原有理论框架的限制，实现认识过程的飞跃，从而达到数学创造的完成。它具有以下特点：3（一）思维的独创性这里是指在思维活动中的创造精神，它不仅是只创造结果，而主要是思维活动是否有创造性。如独立地发现定理的证明、提出新颖解法等都是思维创造的具体表现。著名数学家华罗庚认为:独立开创能力的培养是每一个优秀科学家所必须具备的优良品质之一[2]。创造性思维不受传统习惯和先例的禁锢，超出常规。所要解决的问题，没有现成答案，它必须突破常规的传统的模式。它要求深度开发新观念，力求产生具有新颖、独特的观念形态。新颖是指对社会、对思维者个人来说是前所未有的。独特是指从与众不同的角度出发，提出独到的见解，想出别人想不出的东西。在学习过程中对所学定义、定理、法则、解题思路、解题方法、解题策略等提出自己的观点、想法。（二）思维的灵活性这是指思维活动的灵敏程度，它具有超脱出习惯处理方法的框架限制，当条件变化时，改变先前的思维路径，找出新的解决问题的方法。因此，伟大科学家爱因斯坦将思维的灵活性看成是创造性的新型特点[2]。灵活性反映思维能否随机应变、巧妙转换、举一反三、触类旁通，与自然万物密切融合，具有巧妙思维能力的人，不易受思维定势和功能固着的束缚，因而能提出不同风格的新观念。这种人善于组织多方面的知识和信息，根据事物变化的具体情况，在瞬间展开丰富的联想、假设，快速形成新奇的办法和方案。并且能从客观事实出发，很快地修正自己的思想，改变看法，调整认识。在学习过程中，不拘泥于书本所学的、老师所教的，遇到具体问题能灵活多变，活学活用。（三）思维的流畅性流畅性反映思维是在问题的刺激下，能否流畅地做出反映的能力。这是开发创造性思维能力的重要方面。流畅性是思维的一种状况，是创造性思维成长的摇篮。没有流畅性便没有创造性思维。流畅是认识、观念、方法以及对事物的表达按照各自事物的发展顺序、结合情境的需求进行迁移、跳跃、滑动和联系的过程在学习过程中，表现为思维敏捷，解题迅速。具有流畅性思维能力的人，能在较短时间内表达出较多观点，反应迅速而且理念众多，通常以思维量来衡量。例如有一幅画，要求在规定时间里，根据画面内容联想出一个故事来，说出的故事内容越多，表明流畅性越高。又如，有一道测试题“他的心胸像什么一样宽大”被试者给出的答案越快越多，说明思维流畅性越高。流畅性高的人大多是思维迅速、敏捷、思路畅通无阻。4二、数学创造性思维的培养现代科技已向人们展示了“高科技本质上是一种数学技术”，“数学是一种关键的普遍适用的，并授予人们能力的技术”[2]。因此，许多科学家认为，应把数学学科提高为数学科学并与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，而且将提高数学素质作为提高民族文化水平的一个重要方面，把能否运用数学观念进行定量思维作为衡量民族文化的一个重要标志。因此，对于高等学校培养出来的各类专门人才，无论是数学专业的，还是其他专业的学生都应具备相应的数学思维能力和数学素质。要培养学生的数学素质，不是仅仅教会学生解一些数学题，更重要的是如何培养学生的数学创造性思维。科学家爱因斯坦认为，理论物理学家不得不服从于纯数学形式的支配，并据此认定理论的创造性原则寓于数学之中[3]。根据数学创造性思维的含义和特征，结合数学教学的实践，笔者提出以下几项具体措施：（一）营造“问题解决”情境，诱发创造需要认知心理学家把问题解决分成创造性问题解决(要求发展新方法的问题解决)和常规问题解决(使用现成方法的问题解决)两类，但是他们认为这两种问题解决的差别是相对的。可以把这两类问题解决设想为一个连续体的两端，其间则有常规性或创造性的连续变化[4]。这样，问题中就潜在着创造性，问题解决过程就成为学生创造性或再创造性的过程。现代认知心理学研究表明:虽然“问题”通常给学生设置了一定的思维障碍，但是，问题情境有助于学生形成良好的数学认知结构，并且这种结构有利于将来的学习和问题的解决。因此，我们可以营造“问题解决”情境，诱发学生的创造需要，促使学生努力去克服思维障碍，主动建构良好的数学认知结构，培养数学创造性思维能力。下面举一创造型案例：例1：过圆外一点P(a，b)，引圆x2+y2=R2的切线，求经过两个切点的直线方程。启发思路1：用两点式求直线方程进行翻译、推理、思考。T:求解该题的自然思维是：求过A，B的直线方程，那么能不能求出切点A，B的坐标呢?S1（学生甲）：设切点坐标A（x0，y0)，由OA┴AP得：10000xyaxby即：200Rbyax又点A适合方程x2+y2=R2由得02224022022RbRxaRxbaT:能否把切点坐标求出来呢?S2(学生乙)：可用求根公式5S3(学生丙)：太复杂了。可由韦达定理先求A，B中点M的坐标。bakabkbabRybaaRxxxabopmm,,222222221AB方程为：)(22222baaRxbababRy即：2Rbyax启发思路2：很好。刚才我们用到了直线方程的点斜式，能否用其它方程形式呢？（沉默片刻，耐心等待)S4（学生丁）：可设mxbay，在RT∆OAP中，由射影定理2222,baROMOPOMOA则由点到直线距离公式22222baRbabm所以bRm2，取bRm2即：2Rbyax这样在教师的引导下及学生的争论、讨论与相互启发中，浓厚的兴趣与强烈的探究意识被激发出来，创造性思维的火花也就容易闪现了。（二）培养思维的批判性与深刻性古人说，未解之惑，未识之物，未辩之味，未同之理，皆可谓之疑，疑是思之始，学之端。怀疑的产生是探索的开始.培养学生的创造精神，必须解放思想，破除对书本和权威的迷信，就是应该有思考的批判的学习态度，而不是盲目崇信.书本知识是一定条件下的经验总结，有一定的适用笵围，但随着社会发展和知识更新，教师要鼓励学生敢于怀疑书本的每一个例题的解答、定理证明的简捷性，甚至正确性，使学生真正感到创造并不神秘，它存在于同学们的生活和学习中，人人都有创造的机会，人人都有创造的天赋。培养学生的怀疑精神，必须树立科学的自信心，科学自信心是一种可贵的创造活动的素质。没有科学的自信心，是不可能坚持真理的.在数学的发展中，从人们对数的认识，到一系列的数学分支的建立、发展，都离不开创造，从欧几里得创立的平面几何，到罗氏几何与黎曼几何的诞生，从笛卡儿创立直角坐标系引进解析几何，到牛顿─莱布尼兹各自独立创建微积分，从组合数学知识发展到电子计算机的应用，无不浸透科学创造的足迹，可以说只有创造才有今天的数学.因此，任何创造，都是对前人或别人的观点的否定与超越，如果没有怀疑和批判的6科学精神，要实现这一否定与超越是不可能的.因此，教师要有意识地鼓励学生的创造思维，培育学生的创造萌芽，激发学生的创造欲望.教师应为学生提供宽松、和谐的环境，批判性地对待数学命题、解题方法，使学生在批判中继承，在批判中吸收。只有敢于质疑才能有所创造，正如巴甫洛夫所说：“怀疑是发现的设想，是探索的动力，是创新的前提。”例2：对于幂的运算法则mnnmaa在复数集内成立的条件，学生往往不重视，常常出错，教师即使从正面强调多次也不会有明显效果。于是可拿出一道题：计算10231i。同学出现两种结果：一种做法是：11231231310310310ii另一种做法是：231231123123123133310iiiii通过讨论辨析，才使学生对指数m，n均为正整数有了深刻的认识。（三）培养数学猜想能力大科学家爱因斯坦曾说过提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力。古希腊著名学者亚里士多德指出“想象力是所有发现、发明等创造性活动的源泉。”[6]列宁则更进一步指出“在数学中也是需要幻想的，没有它就不可能发明微积分。”[7]没有想象力，人类就不会飞上蓝天，登上月球，想象力是所有发现和发明的源泉。数学创造性活动的整个过程都离不开联想、想象等科学的想象力，因此，勤于动脑、熟练掌握和运用数学想象思维的方法是实现数学创造的关键。创造性思维始终伴随着创造性想象，虽然想象难免带上种种主观臆测、虚假和错误的成分，但它却是由感性认识上升到理性认识必不可缺的环节。对于数学教育，数学猜想的意义在于运用数学知识、方法，鼓励学生积极参与数学活动，增强对数学学习的理解和学会自己动手解决问题。猜测也是数学学习中的重要的思维方法。在概念和规则的学习中，经常让学生经历观察、试验、猜测、验证的探索过程，发现数学事实，对发展学生创新意识和创新能力具有一定的作用[8]。教师要鼓励学生运用已有的数学知识猜测数学问题的解法、结果，猜想用哪些知识、什么公式、什么方法解决问题，并积极动脑、动手解决问题，从而激发学生对数学及数学学习的极大兴趣，提高学生学习的主动性、自主性，并加深对数学概念、命题和方法的理解。7例如：小学数学新课程较大幅度地增加了“统计与概率”的内容，这是因为随着时代的发展许多场合都出现概率概念，如气象预报中的降水概率、购买彩票中的中奖率、育种时的发芽率、工业产品的合格率等教师在这部分内容的教学中，许多问题都可先让学生猜一猜。如为了让学生理解事件发生的可能性，可设计这样的游戏：一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，若任意摸出两个球，请猜一猜这两个球可能是什么颜色的？