莫比乌斯圈

莫比乌斯圈-简介莫比乌斯圈(Möbiusstrip,Möbiusband)是一种单侧、不可定向的曲面。因A.F.莫比乌斯(AugustFerdinandMöbius,1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起，得到的曲面就是莫比乌斯圈。莫比乌斯圈-发现过程莫比乌斯环图册有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”麦比乌斯圈就这样被发现了。莫比乌斯圈-实验弄好一个圈，沾好，绕一圈后可以发现，另一个面的入口被堵住了，原理就是这样。如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“莫比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。莫比乌斯圈-特性麦比乌斯圈图册关于莫比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给莫比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色，即区分不出何是正面，何是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴莫比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。麦比乌斯圈是不可定向的。莫比乌斯圈还有着更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯圈上获得了解决。比如在普通空间无法实现的“手套易位问题”：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯圈上来，那么解决起来就易如反掌了。“手套易位问题”告诉我们：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体是可以通过扭曲时实现转换。让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出莫比乌斯圈式的弯曲。那么，有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球呢！瞧，莫比乌斯圈是多么的神奇！但是，麦比乌斯圈具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882年，另一位德国数学家费力克斯•克莱茵（FelixKlein，1849～1925），终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，后来以他的名字命名为“克莱因瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对莫比乌斯圈，沿边界粘合而成。通常的一张纸条两端对接得到的纸环是有两个面的。你拿一张纸条，一端扭转180度，对接起来。这样你用一支铅笔在纸带中央点一个点，然后以这个点为起点沿着纸带画线，画一圈，两个点重合了，但是不在同个面上。要想回到远处，必须再走一圈。莫比乌斯圈其实是一怪圈。莫比乌斯圈-拓扑学结构莫比乌斯环图册数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“莫比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。莫比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用莫比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。x(u,v)=[1+v/2×cos（u/2）]cos(u)y(u,v)=[1+v/2×cos（u/2）]sin(u)z(u,v)=v/2×sin(u/2)其中0≤u2π且-1≤v≤1。.这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。如果用极坐标方程表示的话(r,θ,z)，一个无边界的莫比乌斯带可以表示为：log(r)sin(θ/2)=zcos(θ/2)。莫乌斯圈-现实应用莫比乌斯环建筑图册莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪就是一个利用这个结构在他木刻画作品里面的人，最著名的就是莫比乌斯二代，图画中表现一些蚂蚁在莫比乌斯带上面爬行。它也经常出现在科幻小说里面，比如亚瑟·克拉克的《黑暗之墙》。科幻小说常常想象我们的宇宙就是一个莫比乌斯带。由A.J.Deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。另外一部小说《星际航行：下一代》中也用到了莫比乌斯带空间的概念。莫比乌斯带也被用于工业制造。一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。有一座钢制的莫比乌斯带雕塑位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆。荷兰建筑师BenVanBerkel以莫比乌斯带为创作模型设计了著名的麦比乌斯住宅。在日本漫画《哆啦A梦》中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比乌斯带；在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的仍然是外面。在日本的艾斯奥特曼第23话《逆转！佐菲登场》中TAC队利用莫比乌斯带的原理，让北斗和南进入异次元空间消灭了亚波人。在电玩游戏音速小子-滑板流星故事中最后一关魔王战就是在莫比乌斯带形状的跑道上进行，如果你不打败魔王就会一直在莫比乌斯带上无限循环的滑下去.....1988年在日本上映的动画电影机动战士高达逆袭的夏亚以莫比乌斯带作为对命运的隐喻：人类就好比行走在麦比乌斯带上的蚂蚁一般，永远逃不出这个怪圈，不断重复着相同的错误，类同的悲剧也在不断地上演。电影的主题歌BEYONDTHETIME(メビウスの宇宙を越えて)亦呼应了这个主题（日文メビウス就是Möbius的意思）。日本的梦比优斯奥特曼名字也取于莫比乌斯带，其变身是则为“无限”的标志，及剪开的莫比乌斯带。