郑州大学2007级微积分上考试试题A

郑州大学2007级微积分上考试试题A郑州大学2007级微积分（上）理工课程试题(A)合分人：复查人：一、求下列极限（每小题5分，共20分）分数评卷人1.求2.求3.求4.求二、求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）分数评卷人1.设，求2.设由方程所确定，求3.设，求4.设，其中具有二阶导数，且，求题号一二三四五六七总分分数三、求下列积分（每小题5分，共20分）分数评卷人1.求2.求3.求4.求四、求解下列各题（每小题10分，共20分）分数评卷人1.设，讨论在处的连续性与可导性.2.试求幂级数的收敛区间（包括端点的敛散性），并求它的和函数S(x).五、应用与证明题（每小题10分，共20分）分数评卷人1.设抛物线通过原点，且当时，如果它与轴，直线所围成图形的面积为，试确定，使这个图形绕轴旋转所成的立体体积最小2.证明：当时，郑州大学2007级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案一．求下列极限（每小题5分，共20分）1．其中，二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）1．，求解：2．设函数由方程确定，求解：方程两边同时关于求导，得：------（1）又当时，代入原隐函数方程易得，将代入（1）:3．设求解：两边取对数，得：。上式两边同时关于求导，得：故4．设其中具有二阶导数，且求解：（一）（二）三．求下列积分（每小题6分，共30分）3.4．四．求解下列各题（每小题10分，共20分）1。设，讨论在出的连续性与可导性。解：（一）连续性因为所以在处连续。（二）可导性因为，所以，在处可导。2．试求幂级数的收敛区间（包括端点处的敛散性），并求它的和函数。解：（一）记因为所以收敛半径为又当时，级数即为条件收敛；当时，级数即为发散，故级数的收敛区间是（二）设，（1）则（2）其中（3）由于，故注意：也可以这样求直接利用展式，得五．应用与证明题（每小题10分，共20分）1。设抛物线通过原点，且当时，。如果它与轴，直线所围成图形的面积为，试确定，使这个图形绕轴旋转所生成的立体体积最小。解：（一）因为抛物线通过原点，故（1）又，所以（2）（二）设令故，是唯一的极小值点，为最小值点因此，当时，可使图形绕轴旋转所生成的立体体积最小。注意：还须验证当时，抛物线满足条件当时，。2。证明：当时，证明：令则故当时，在上单增，故当时，因此在上单增，故当时，即当时，