蒙特卡洛方法在经济和社会问题中的应用

蒙特卡洛方法在经济与金融问题上的应用本文我们关注经济和社会问题的求解问题，也即社会科学。由于许多至关重要的复杂社会过程无法象其它自然科学过程那样还原分析，因此，社会科学被称作真正的“硬”科学（HardSciences）。用自然科学的方法审视社会科学问题是一种新的尝试，在此基础上诞生了金融物理学、经济物理学econophysics和社会物理学sociophysics。经济物理学是一个跨学科的研究领域，应用最初由物理学家开发的理论和方法（通常是那些包括不确定性或随机因素和非线性动力学），来解决经济问题。经济物理学的例子包括：利用渗流模型来解释股市的波动;使用自组织临界性的模型来理解和解释股票市场的崩盘现象。这一分析的基本工具是复杂性理论，它与由盖尔曼和申农分别开发的信息理论紧密相关。经济现象是许多经纪人（代理商）微观层面上的相互作用的宏观结果，而物理模型必须充分反映这一点。当然，物理学其他领域的方法和工具，比如流体动力学，量子力学和统计力学的路径积分方法等也在经济物理学中有重要应用。经济物理学是1990年代中期由几个统计物理学家开创的。对经济特别是金融市场运行规律的解释通常来自经济学家，他们往往采用与物理学截然不同的方法。上面提到的几位物理学家对经济学家的解释不够满意，他们决定采用物理学的方法和工具给出一个全新的理论。当时，他们找到了大量的财经数据，如何从这些数据中找到规律成为他们最初的尝试方向。很显然，传统的平衡态的分析方法是不够的，因为金融市场比较有趣的现象，从根本上来说发生在远离平衡态的情形。下面我们从以下四个方面简要介绍金融物理学或经济物理学的基本概念，主要内容包括：复杂系统和经济物理学基于复杂网络的金融物理模型的研究新方向利用统计力学来建立经济模型蒙特卡洛模拟价格的实例。1复杂系统和经济物理学社会经济现象非常复杂，可以用数学上的复杂系统描述。1.1复杂系统的主要特征复杂系统是一个开放的巨系统。系统由大量相似的个体组成。复杂系统的结构与网络（network）相对应，而个体就是网络中的节点（node）。个体在单独存在的行为与在整体中的行为很不一样（在整体中各个体行为变得相似)。全局行为不依赖于个体的精确细节，但个体间的相互作用或者单元之间的耦合非常关键。因此必须合理定义，并且为了计算方便不能太复杂。这种相互作用一般为非线性，相互作用的类型有吸引、抗拒、对齐等。复杂系统的行为时一种集体行为，主要的集体现象包括：相变、模式形成、群组运动、同步等。上述特点决定了复杂系统的研究手段只能是统计物理、多主体计算机模拟。1.2为什么要研究复杂系统和经济物理学？目前，不断出现的经济风潮的影响和日益显著的经济波动的全球化趋势已使预测并控制大的金融风险成为各国政府和金融机构严重关注的问题。将物理学方法应用于各种金融价格的统计分析和经济复杂系统的动力学模拟将对金融市场的预测和经济系统的宏观调控有直接的指导意义。寻求适应性复杂系统的动力学模型，模拟金融市场经纪人之间的自适应竞争行为，构造金融市场的微观物理模型，将开拓新的经济学研究方法，并对复杂性科学的探索有深远的理论意义。1.3研究社会经济复杂系统的挑战将物理学方法应用于各种社会经济问题就是力图用精密科学的定量语言阐述并研究社会经济系统中的各种问题，揭示社会经济现象中的普适性和规律，用非线性动力学、统计物理理论、复杂网络理论建立社会及经济系统的各种模型，比如：交通流、城市膨胀、各种社会和经济网络、基于经纪人相互作用的金融市场模型等，并揭示各种普适现象的机制。金融市场是一个典型的具有大量互作用单元的强涨落复杂系统。如何理解这样的复杂系统动力学？研究复杂物理系统所获得的经验可能会给出经济学中的新结果。理解金融市场动力学的困难，不仅在于它的内部元素的复杂性，更在于有许多难于捉摸的外部因素作用于市场。即使是同一国家甚至同一地域的两个市场，都可能有明显的不同。但金融市场的某些观察量，如：交易价格、成交量、交易频率和市场指数值的统计性质对于十分不同的金融市场看起来却有令人惊讶的相似性。这意味着金融市场作为复杂动力学系统可能存在“普适”的行为与规律。2基于复杂网络的金融物理模型的研究新方向目前，基于复杂网络的金融物理模型的研究已经开辟了许多新的方向，比如价格的经验统计性质研究，目的是寻求建立价格动力学的随机过程模型,理解价格的行程及其演化的机制；基于经济人相互作用的金融市场模型的建立及经济复杂系统适应性行为的理解。这些模型对于风险控制,营利行程,股市预测,经济政策的制定都有重要的实际应用。当前的主要研究目标包括：对高频金融资料的统计分析,发现能够描述金融价格变化特征的随机过程,确定经济学时间序列的时间关联性,构造金融市场中的价格动力学金融市场的涨落规律,发现能够导致涨落和变化的因素与动力学机制,着重研究金融市场的经纪人相互作用的基本物理理解基本少数者博奕模型和各种金融物理模型的系统协作性的产生机制构造和发展金融市场的自我组织微观模型,更准确的模拟金融市场的变异性和经济人之间的自适应相互作用3博弈理论(赛局理论)博弈论也叫对策论或竞赛论，它将经济活动看作是一场“游戏”或“对弈”，每个游戏者都应尽量寻找对己有利的规则来“灵活”选择策略，甚至透过“犯规”“成本收益比”的权衡不惜故意犯规来最大限度地“趋利避害”。『博奕论』是从日常生活中的游戏抽取出的理论，用以指导这些游戏。日常生活的游戏包括经济决策、市场竞争、政治、军事活动和社会行为等。它们本质都是游戏，视乎人们的决定-即『运用的策略』。简单来说『博奕论』就是对人们在游戏时『运用的策略』的分析。经济学的博弈理论指出:经济理论不一定是“道德的理论”,市场经济的参与主体是“经济人”，而经济人身上“主观为自己，客观为社会”的固有特征，或多或少地决定了他们在投入资本、劳动、土地、技术甚至时间、精力时必会“算计”一番；而算计的极致形态，便是将每一次经济活动视作商战博弈，把你死我活的个案“搏杀”强化为一般意义上的商战原则。只要这种博弈心态不触犯现行法规，本无可厚非。另一方面也不得不看到，博弈理论较为明显地具有强化经济人的博弈意识、蜕化经济人的博弈动机、劣化经济人的博弈手段的负面影响。争当少数者博奕模型是一个用来模拟金融市场动力学行为的最简单的模型，可以尝试利用它来对实际金融市场中许多现象提供物理的解释与理解。由Challet和张翼成提出的争当少数者博奕模型（MinorityGame，MG模型）在建立复杂适应系统（ComplexAdaptiveSystem，以下简称CAS）的基于经纪人的物理模型方面迈出了重要的一步。这一简单的模型，深刻地反映了复杂的金融市场中众多千差万别的经纪人对有限资源（利益内在冲突）进行竞争的基本特征，其基本思想是金融市场中的普遍原则--少数者获胜。4Ising自旋价格模型伊辛模型中，自旋只有向上向下两种取向。自旋系统的“磁化”是各个自旋在交换作用和磁场作用下取向“同一”的现象，是自旋的一种集体行为。许多社会现象可看成个体的磁化行为。比如同步掌声，就是个体行为方向“磁化”为邻居动作的平均方向。当前排一人鼓掌时，邻居受到感染会不由自主地跟着鼓掌，最后掌声响彻整个现场。我们发现，许多社会现象中，个体的行为与伊辛自旋相似，表现为yes和no两种行为。因此我们可以用伊辛模型模拟一些经济和社会现象。下面我们以Ising自旋价格模型为例说明。Ising自旋价格模型的目标是通过模型产生一个时间序列，这个时间序列要与真实金融数据有某些相同的特征。4.1Ising模型的广义解释能量(Hamiltonian)：E=-J(i-1)isi-1sisi=1或者–1在lattice上排列，代表个体的两种表现或态度；相邻spin之间有相互作用，Jij0,偏好相邻同向；Jij0,偏好相邻不同向；Jij=0,无相互作用。考虑外部场E=-Jijsisj-hisi4.2金融数据的统计规律要想正确模拟金融现象，首先要对金融数据进行研究，了解其统计规律性。这里我们主要研究下面物理量：价格xt和价格的变化rt。这里xt是每日收盘时的价格，而rt定义为rt=logxt+1-logxt。实际上，为了正确预测价格的走向，我们对于价格的变化(return)更感兴趣。下图是过去十年道琼斯平均工业指数DowJonesIndustrialAverageindexduring的日重现Dailyreturn图。我们首先研究return的时间相关性。定义自相关函数（autocorrelationfunction）N是自旋链的长度，k为时间延迟DJIAdailyreturns的自相关曲线为returnabs(return)虚线中为高斯随机行走的95%置信区间。把累计概率画在正态概率纸上，可以发现return的另一特征：胖尾分布fat-tail（图）。图显示正态分布呈直线；高频(daily)数据之return的分布为胖尾分布。4.3价格模型引入伊辛价格模型，此时自旋就是商人，自旋向上up-spin(Si=1)代表买家，自旋向下down-spin(Si=-1)代表卖家。再引入新的动力学规律，描述金融市场上的两种商人：跟风者trendfollowers和聪明人fundamentalists。对于跟风者定义如下的游戏规则（1）支持团结Unitedwestand，如果SiSi+1=1则Si-1和Si+2取自旋选对(i,i+1)的方向takethedirectionofthepair(i,i+1)Unitedwestand（2）Dividedweactrandomly如果SiSi+1=-1则Si-1和Si+2随机选取任意方向把价格定义为供需之差，xt属于[-1,1]即磁化强度！这样定义的价格满足价格规律：如果买的人多，卖的人少，价格必然高涨；反之价格低落。对于聪明人(fundemantalist)来说，何时出手由价格走向决定。在时刻t，买进或卖出取决于概率|xt|，如果xt0，则买进（取Si=1）；反之，如果xt0，则卖出（取Si=-1）。这是第三条规则，意味着系统不会趋于平衡！4.4MonteCarlo模拟•N=1,000•初态随机选取•随机更新状态•自由边界条件(f.b.c:freebondarycondition)•MonteCarloStep(MCS):包含N次更新，一个MCS代表一小时，8个MCS代表一个交易日，通常模拟20,000MCS，即10年模拟结果如下所示。图12是美圆对马克（USD/DEM）的汇率变化过程。其中一幅图是美圆对马克的汇率，另一张是通过Ising自旋模型模拟出来的价格。我们看到模拟结果可以以假乱真。fat-taledreturnreturn的自关联（autocorrelationofreturn）至此我们看到，上面的伊辛价格模型产生的价格具有如下真实价格系统的特征，即return的胖尾分布；abs(return)的长程相关性，即volatility；return本身的时间无关性。因此这个简单的模型是实际金融市场的一个很好的一级近似。