薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

-1-薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号：2011300092班级：01011105-2-薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形（3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。在物体内的任一点P，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。根据平衡条件即可建立方程。(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0M，可证明切应力的互等性：yxxyxzzxzyyz,,(2)分别以轴轴、轴、zyx为投影轴，列出投影的平衡方程0xF，0yF，0zF，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下000zyzxzzyxyzyyxzxyxxfyxzfxzyfzyx(1-1)-3-3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量,,zyx，yxxyxzzxzyyz,,为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，如图1-2所示。当四面体PABC无限减小而趋于P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。命平面ABC的外法线为'n，则其方向余弦为nznmynlxn,'cos,,'cos,,'cos图1-1dxdydz图1-2dxdydz-4-三角形ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用zyxppp,,代表.根据四面体的平衡条件进行推到，可以得出.,,yzxzzzxyzyyyzxyxxxmlnplnmpnmlp(1-2)设三角形ABC上的正应力为n，则zyxnnpmplp，将式1-2代入，并分别用xyzxyz,,代替yxxzzy,,，即得xyzxyzzyxnlmnlmnnml222222(1-3)设三角形ABC上的切应力为n，则由于222222zyxnnpppp，得22222-nzyxnppp(1-4）由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC是物体上受面力作用的边界面s，则zyxppp,,成为面力分量zyxfff,,，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件.,,zsyzxzzysxyzyyxszxyxxfmlnflnmfnml(1-5)应力状态有三种表示方式如下:(1)如图1-2,在图中表示(2)应力状态矩阵zzyzxyzyyxxzxyx][该矩阵为一对称阵。(3)应力向量T,,,,,zxyzxyzyx4、物体内任一点的应变状态过空间一点P所有方向上的线应变和角应变的集合称为P点的应变状态，通-5-过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P点的应变状态。三个线应变为zyx,,，三个角应变为：zxyzxy,,.应变状态的表示方式如下:(1)向量形式zxyzxyzyx,,,,,(2)矩阵形式zzyzxyzyyxxzxyx212121212121][5、几何方程和物理方程（1）空间问题的几何方程yuxvxwzuzvywzwyvxuxyzxyzzyx，，，，，（1-6）几何方程的矩阵形式为Lu（在V内），其中L为微分算子xzyzxyzyxL000000000（2）空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下zyxxE1，xzyyE1，yxxzE1，zvywyz，xwzuzx，yuxvxy(1-7)-6-根据关系E21，其中zyx为体应变，zyx为体积应力，与间的比例常数E21称为体积模量，可推得物理方程的另一种形式zzyyxxEEE211211211，，xyxyzxzxyzyzEEE121212，，物理方程的矩阵形式为D或C，其中D为弹性矩阵，C为柔度矩阵，两矩阵为互逆关系。122100000012210000001221000000111000111000111)21)(1()01(ED4、边界条件（1）根据物体内任一点的应力状态可得空间问题的应力边界条件，即式1-5(2)空间问题的位移边界条件为wwvvuusss,,(1-9)5、按位移求解空间问题按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程，再将该弹性方程代入平衡微分方程得按位移求解时所需用的基本微分方程。6、按应力求解空间问题按应力求解空间问题，是取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说就是，就是要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量方程，进行求解。(1-8)-7-二、板弯问题基本概念及微分方程1、有关概念(1)在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称板，如下图所示。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板边之间的厚度称为板的厚度，而平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称为中面。如果板的厚度远小于中面的最小尺寸b，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。(2)当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分载荷，一个是平行于中面的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。对于纵向载荷，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。(3)薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。这里只讨论薄板的小挠度弯曲理论。2、薄板弯曲问题的计算假定为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定。(1)垂直于中面方向的线应变，即z可以不计。取0z，则又几何方程中的0zw，从而得),(yxww。即横向位移w只是x，y的函数，不随z而变。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。(2)应力分量yzxz,和z远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起的变形可以不计（注意：这三个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能-8-不计）。因为不计xz及yz所引起的形变，所以有0zx，0yz。于是由几何方程1-6可以得0,0zvywxwzu。从而得ywzvxwzu，(2-1)由于0,0,0yzzxz，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。在上述计算假定中虽然采用了0,0,0yzzxz，但在以后考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量yzxz,和z。因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于zxz,和yz的物理方程。因为不计z所引起的形变，所以薄板的物理方程成为xyxyxyyyxxEEE)1(2,1,1(2-2)(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即0)(,0)(00zzvu。因为yuxvyvxuxyyx,,，所以由上式得出中面内的形变分量均为零，即0)(,0)(,0)(000zxyzyzx(2-3)也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形状却保持不变。3、将纵向位移，各应变分量和应力分量分别都用挠度w来表示薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度),(yxww作为基本未知函数。(1)将纵向位移u，v用挠度w表示。由ywzvxwzu，得),(),,(21yxfzxwuyxfzywv由计算假定-9-(1-3)，得0),(,0),(21yxfyxf。于是纵向位移表示为zywvzxwu,(2)将主要应变分量xyyx,,用w表示。把①中所得的u,v代入几何方程中的对应项得zyxwyuxvzywyvzxwxuxyyx222222,，(a)(3)将主要应力分量xyyx,,用w表示。由薄板的物理方程2-2求解应力分量得xyxyxyyyxxEEE)1(2),(1),(122(b)把式a中所得应力分量代入上式得),(122222ywxwEzx),(122222xwywEzyyxwEzxy21(2-4)(4)将次要应力分量yzxz,用w表示。可以应用平衡微分方程的前两式进行求解，且因为不存在纵向载荷，体力分量0,0yxff，由此得xyzyxzxyyzyyxxzx,把的表达式2-4代入得wxEzyxwxwEzzzx222333211wyEzxywywEzzzy222333211其中引用记号22222yx。将上两式对z积分，得),)1(21222yxFwxEzzx（，),)1(22222yxFwyEzzy（其中),(),,(21yxFyxF，可根据薄板的上、下板面的边界条件来求出，即0)(2zzx，0)(2zzy应用这两个边界条件求出),(),,(21yxFyxF以后，即得yzxz,的表达式-10-wyzEwxzEzyzx222222224)1(2,4)1(2(2-5)(5)将更次要应力分量z