北京大学电磁学讲义(孟策)

1第一章静电场作业：2，7，9，12，14，16，18，19，22，24，25其中1.25题补充条件：取O点处为电势零点。1.1库仑定律a)电荷与物质的电结构：两种电荷：历史上人们以相互作用来区分两种电荷：同种相斥，异种相吸而以两种电荷的相加性和“中和”来约定“正”、“负”符号：“玻正橡负”物质的电结构：基本粒子（无结构点粒子，至少目前实验上还未发现结构）电量±e±2e/3±e/30正反轻子lepton𝑒+,𝜇+,𝜏+𝑒−,𝜇−,𝜏−正反中微子neutrino𝜈𝑒,𝜈𝜇,𝜈𝜏𝜈̅𝑒,𝜈̅𝜇,𝜈̅𝜏正反夸克quark𝑢,𝑐,𝑡𝑢̅,𝑐̅,𝑡̅𝑑̅,𝑠̅,𝑏̅𝑑,𝑠,𝑏规范玻色子gaugeboson𝑊+𝑊−𝛾,𝑔,𝑍0黑格斯粒子Higgs𝐻所有带电粒子均可直接参与电磁相互作用，按照量子场论的观点这种相互作用是通过交换光子𝛾实现的通常物质的电结构：通常物质的电性质只与电子与原子核有关，其中原子核由带正电的质子𝑝(𝑢𝑢𝑑)和不带电的中子𝑛(𝑢𝑑𝑑)组成。电荷的性质：（实验上）量子性：电荷取分立值，继承于基本粒子的分立电量。基本电量单位1e=1.602176464(83)×10−19C在国际单位制中，库仑（C）是导出单位。狄拉克（Dirac，1931）曾经证明：如果存在一个磁单极子的话，则电荷必定是量子化的。但目前为止，实验上没有磁单极子存在的明确证据，所以如上证明只对应理论上的一种“可能性”。磁单极子：仅带有N极或S极单一磁极的磁性物质，它们的磁感线分布类似于点电荷的电场线分布，可以被分别称为N、S（或正负）磁荷。相加守恒性：电荷既不能被创造，也不能被消灭，电荷只能是从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。在任何物理过2程中(从宏观到微观)，电荷的代数和守恒。相对论不变性：是严格的量子性与相加守恒性的内在要求实验证据：宏观物体的稳定性（如上三点均为稳定性的内在要求）b)库仑定律：历史回顾：富兰克林（Franklin，1755）发现带电小球在带电金属桶内几乎不受力，普里斯特利（Priestley，1767）通过类比万有引力定律猜想电力满足平方反比律。卡文迪什（Cavendish，1772）利用导体壳静电平衡的性质，即当𝑓~𝑟−(2±|𝛿|)|𝛿|越小，内表面带电量越小以内表面电量的“示零实验”测得|𝛿|2×10−2，其结果为麦克斯韦（Maxwell，1870’s）整理发表，并进一步将精度提高到|𝛿|5×10−5，目前的精度为|𝛿|2.7×10−16（Williamset.al.，1971）库仑（Coulomb，1785）以设计精巧的“扭称”直接验证了平方反比定律（|𝛿|4×10−2）库仑定律表述：如图，两个真空静止点电荷{𝐹⃑21=14𝜋𝘀0𝑄1𝑄2𝑟⃑21𝑟213=14𝜋𝘀0𝑄1𝑄2𝑟212𝑟⃑̂21𝐹⃑12=14𝜋𝘀0𝑄1𝑄2𝑟⃑12𝑟123=14𝜋𝘀0𝑄1𝑄2𝑟122𝑟⃑̂12其中，真空介电常数𝘀0=8.85×10−12C2/(N∙m2)库仑定律的适用条件及其拓展：1.真空：如果有物质（注意：物质都有电结构，如导体和电介质），物质中的电结构会在外电场的影响下发生改变，稳定后每个电荷微元（可看作为点电荷）激发的电场仍然满足（真空）库仑定律。2.静止：可以拓宽至只要求施力电荷静止！如上图，𝑄1静止𝑄2运动时，仍有𝐹⃑12=14𝜋𝘀0𝑄1𝑄2𝑟⃑12𝑟123=14𝜋𝘀0𝑄1𝑄2𝑟122𝑟⃑̂12但此时𝐹⃑1不满足库仑定律。究其原因，是因为库仑力以电场形式传递，而且传递速度有限，因此，𝑄2感受到的电场为静止电荷𝑄1所激发的电场，故受力𝐹⃑2满足库仑定律，而𝑄1感受到的电场为运动电荷𝑄2在如图位形之前所激发的电场，因此不满足（瞬时形式）的库仑定律。由如上分析可以看出，电相互作用的模式为电荷电荷电场𝑄1𝑄2𝐹⃑21𝐹⃑12𝑟⃑21𝑟⃑123电场虽然看是由电荷激发，但其独立传播，且传播速度有限，因此是一种独立的实在（如真空电磁波）。注意到在如上𝑄1静止𝑄2运动的情形，𝐹⃑1+𝐹⃑2≠0，不满足牛III，因此质点系{1，2}不满足动量守恒定律。若想恢复孤立体系动量守恒定律，必须把电场包含于体系内并赋予动量！因此，电场是实在的物质。类似地，磁相互作用模式为运动电荷（相当于对静止电荷换个参考系考查）会激发磁场，因此电磁场不可分割、互相转化、为一个事物的两个方面，统称为电磁场。此外，磁铁的磁性来源于内部分子环流的有序排列，本质上是电流或电荷的运动造成的，因此电荷（无论运动与否）的电磁相互作用模式为电流激发的磁场或者无磁极（如无穷长直导线电流），后者南北极成对出现（如环形电流），实验上并没有发现磁单极子的存在。设想若磁单极子确实存在，则磁单极子的流动同样可以激发电场，目前的电磁学理论将会改写成为更加对偶的形式。本章中无特别声明，电荷均为静态分布！3.点电荷：是一个理想模型，相当于力学中的质点。虽然电荷微观是分立的，但宏观看起来是连续的。处理时分割为电荷微元（宏观无穷小，微观无穷大）：𝑑𝑞={𝜌𝑑𝑉𝜌：体电荷密度𝜎𝑑𝑆𝜎：面电荷密度𝜆𝑑𝑙𝜆：线电荷密度电荷微元之间的相互作用满足点电荷的相互作用规律，有限大小电荷分布体系可由求和（或积分）处理。c)静电力叠加原理：本质上来源于场的叠加原理，因为场是更为基本的。若点电荷𝑞0受到多个点电荷𝑞1、𝑞2…的静电相互作用，则𝑞0受力为𝐹⃑=∑𝐹⃑𝑖𝑖=14𝜋𝘀0∑𝑞𝑖𝑞0𝑟𝑖2𝑟⃑̂𝑖𝑖如果源电荷（激发电场的电荷）为连续分布，则𝑞0受力为𝐹⃑=∫𝑑𝐹⃑=𝑞04𝜋𝘀0∫𝑟⃑̂𝑟2𝑑𝑞其中，积分作用于源电荷分布区域。电流/磁极电流/磁极磁场电荷电荷电磁场41.2电场强度a)电场强度的定义场是一个独立的实在，需要独立的物理量来进行描述。既然点电荷𝑞0在电场中的受力正比于其电量，则可由比值𝐸⃑⃑=𝐹⃑/𝑞0提炼出场的信息，称𝐸⃑⃑为电场强度（矢量）。数学上场是一个时空分布矢量函数，即𝐸⃑⃑(𝑟⃑,𝑡)=𝐸⃑⃑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)用来（在测量意义上）定义场强的试探电荷𝑞0应满足：1.点电荷：如此才可以定义分布2.电量足够小：对源电荷分布的改变可以忽略如上定义方式不依赖于源电荷的存在和运动情况。作为特例，场由静止点电荷𝑞激发时，𝐸⃑⃑(𝑟⃑)=14𝜋𝘀0𝑞𝑟2𝑟⃑̂𝑟⃑为源点指向场点的位置矢量。b)电场分布图示——电场线：（可类比流速场的流线）一些典型的电场线结构如右图1.某点切向代表场强方向：故两条电场线永不相交2.疏密表示场强大小（目前还是猜测）c)场强叠加原理：比静电力叠加原理更为基本与普遍，独立于电荷的存在和运动与否特例，如源电荷静态连续分布时，𝐸⃑⃑=∫𝑑𝐸⃑⃑=14𝜋𝘀0∫𝑟⃑̂𝑟2𝑑𝑞书上13页，例1：电偶极子的电场电偶极子：两相距很近的等量异号点电荷构成的带电体系（如单个氢原子）。这里“很近”的含义是我们通常关心远处的场强分布如右图，定义𝑝⃑=𝑞𝑙⃑为电偶极矩。如下图，求电偶极子中垂面和延长线上远处（𝑟≫𝑙）场点的场强分布a)延长线上𝑞−𝑞𝑙⃑5𝐸+=14𝜋𝘀0𝑞(𝑟−𝑙/2)2=14𝜋𝘀0𝑞𝑟2(1+𝑙𝑟+⋯)𝐸−=14𝜋𝘀0𝑞(𝑟+𝑙/2)2=14𝜋𝘀0𝑞𝑟2(1−𝑙𝑟+⋯)∴𝐸=𝐸+−𝐸−=14𝜋𝘀02𝑞𝑙𝑟3𝐸⃑⃑=14𝜋𝘀02𝑝⃑𝑟3b)中垂面上𝐸+=𝐸−=14𝜋𝘀0𝑞𝑟2+𝑙2/4∴𝐸=2𝐸+cos𝜃=214𝜋𝘀0𝑞𝑟2+𝑙2/4𝑙/2√𝑟2+𝑙2/4=14𝜋𝘀0𝑞𝑙𝑟3+⋯𝐸⃑⃑=−14𝜋𝘀0𝑝⃑𝑟3整体电中性的电偶极子远处场强是距离立方衰减的！书上15页，例2：均匀带电圆环（𝑄0,𝑅）轴线上场强分布分析：由对称性可知轴线上场强方向沿轴线𝐸=𝐸𝑥=∫|𝑑𝐸⃑⃑|∙cos𝜃=∫14𝜋𝘀0𝑑𝑄𝑅2+𝑥2𝑥√𝑅2+𝑥2=14𝜋𝘀0𝑄𝑥(𝑅2+𝑥2)3/2𝑥≫𝑅→14𝜋𝘀0𝑄𝑥2附注：若带电不均匀，则𝐸𝑥仍为所求，但一般𝐸𝑦,𝑧≠0.书上15页，例3：均匀带电直线段（𝑄0,2𝑙）中垂面上场强分布分析：由对称性可知中垂面上场强方向沿径向（𝜆=𝑄/(2𝑙)）𝑧=𝑟tan𝛼⇒𝑑𝑧=𝑟cos2𝛼𝑑𝛼|𝑑𝐸⃑⃑|=|𝑑𝐸⃑⃑′|=14𝜋𝘀0𝜆∙𝑑𝑧𝑟2+𝑧2=14𝜋𝘀0𝜆𝑟𝑑𝛼∴|𝑑𝐸⃑⃑+𝑑𝐸⃑⃑′|=2|𝑑𝐸⃑⃑|cos𝛼=14𝜋𝘀02𝜆𝑟cos𝛼𝑑𝛼因此，径向分布场强大小为（𝛼𝑚=sin−1𝑙/√𝑟2+𝑙2）𝐸=∫14𝜋𝘀02𝜆𝑟cos𝛼𝑑𝛼𝛼𝑚0=14𝜋𝘀02𝜆𝑟𝑙√𝑟2+𝑙2讨论：𝑄𝑅𝑥𝑥𝐸⃑⃑𝑑𝐸⃑⃑𝜃61)当𝑟≫𝑙时回到点电荷电场的平方反比律；2)当𝑙≫𝑟(无穷长带电直线)时𝐸=12𝜋𝘀0𝜆𝑟1.3静电场高斯定理a)立体角和通量平面角与立体角：如图，对应某参考点（如O点）的微元平面角（1维）的一般定义为|𝑑𝜃|=|𝑟⃑̂×𝑑𝑙⃑|𝑟其正负方向可约定为顺时针或逆时针。易知，如图任意闭合曲线对内部参考点O的平面张角为2𝜋（与如图圆周张角相同），对O′点的平面张角为0！如图，对应某参考点（如O点）微元立体角（2维）的一般定义为𝑑𝛺=𝑟⃑̂∙𝑑𝑆⃑𝑟2=𝑑𝑆∗𝑟2(𝑑𝑆⃑=𝑑𝑆𝑛⃑⃑)易知，如图球面对球内参考点的立体张角为4𝜋，对球外参考点的立体张角为0！（通常对于闭合曲面选取外法向方向向量𝑛⃑⃑来定义面元𝑑𝑆⃑=𝑑𝑆𝑛⃑⃑）如上结论可推广：3维空间内任意闭合曲面，对内部参考点的立体张角为𝟒𝝅，对外部参考点的立体张角为0。电通量：即然电场线可以类比于流速场的流线，则对于给定面元，𝑑𝛷=𝐸⃑⃑∙𝑑𝑆⃑=𝐸𝑑𝑆cos𝜃可以类比于流量（微元）𝑑𝑄𝑉=𝑣⃑∙𝑑𝑆⃑，称为电通量（微元），它的形象涵义是穿过该面元的电场线根数。对于有限曲面，通量由曲面积分给出𝛷=∬𝐸⃑⃑∙𝑑𝑆⃑𝑆对于闭合曲面（取外法向为正向），通量由闭合曲面积分给出𝛷=∯𝐸⃑⃑∙𝑑𝑆⃑𝑆叠加性质：满足标量叠加原理！即电荷体系所激发电场的通量为各部分电荷独立激发的电场通量的标量求和。𝑑𝑙⃑OO′𝑟⃑7b)静电场高斯定理点电荷𝑞激发电场的闭合曲面通量𝛷𝑞=∯𝐸⃑⃑𝑞∙𝑑𝑆⃑𝑆=𝑞4𝜋𝘀0∯𝑟⃑̂∙𝑑𝑆⃑𝑟2𝑆=𝑞4𝜋𝘀0𝛺𝑡𝑜𝑡={𝑞/𝘀0𝑞位于𝑆内0𝑞位于𝑆外高斯定理：由通量的叠加性质得𝛷=∯𝐸⃑⃑∙𝑑𝑆⃑𝑆=(∑𝑞𝑖𝑆内)𝘀0连续分布⇒∭𝜌𝘀0𝑉𝑑𝑉闭合曲面𝑆习惯上被称为高斯面，而𝑉为该闭合曲面所包围的区域。高斯定理的含义1)高斯定理的积分式描述了静电场的有源性。类比流速场，闭合曲面流量（通量）不为0时，表示有源或汇（如右图），可以统称为源，并加以区分为正负。而静电场的“源”即是高斯面内的正负电荷，分别带来正负通量。由此可以给出电场线的一般性质，即电场线越密集场强越大，即电场线的（横截面上)数密度𝑑𝑁/𝑑𝑆~𝐸2)高斯定理的积分式只反映了静电场整体分布特征的一个侧面，数学上来自平方反比律。不能认为高斯面上的场强分布完全由面内电荷所决定，面外电荷对每一点的场强仍有贡献