用2--九年级-锐角三角函数总复习

第1页共36页ABCcba九年级数学第七章锐角三角函数总复习课标要求：1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30º，45º，60°角的三角函数值。2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。重点难点：1.特殊角的三角函数值，并能进行有关计算；解直角三角形的知识应用。2.解直角三角形的知识应用。知识梳理：知识点一：锐角三角函数（一）正弦、余弦、正切的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．如右图、在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：（1）sinA=，这个比叫做∠A的．（2）cosA=，这个比叫做∠A的．（3）tanA=，这个比叫做∠A的．要点诠释：（1）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的，它只是一个，其大小只与锐角的有关，而与所在直角三角形的大小无关．（2）sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC．（3）sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2．（4）三角函数有时还可以表示成sin,cos等．（二）锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．要点诠释：ABCabc第2页共36页1).它们统称为∠A的锐角三角函数．2).锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．4).对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是∠A的函数．同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数．其中自变量∠A的取值范围是°∠A°，函数值的取值范围是sinA，cosA，tanA．（三）锐角三角函数之间的关系：1).余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cos；cosA=sin；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=；=sincosAA2).如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．（四）30、45、60角的三角函数值∠A30°45°60°sinAK3KKKK2K230°45°60°ABCABC第3页共36页cosAtanA要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0、、、、sin90的值依次为0、、、、1，而cos0、、、、cos90的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而(或增大)．知识点二：解直角三角形1．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．(1)三边之间的关系：____________；(2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：............................................................sin,cos,tanAAA............................................................sin,cos,tanBBB边角关系：锐角三角函数，即sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.④，h为斜边上的高.3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝asinA，b＝atanA(或b＝c2－a2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝c2－a2)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝a2＋b2，第4页共36页由tanA＝ab，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝c2－a2，由sinA＝ac，求出∠A，∠B＝90°－∠A．要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：（1）已知两条边（一直角边和一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知．知识点三：解直角三角形的应用（一）解这类问题的一般过程是：（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型．（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为的问题．（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形．（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解．（二）常见应用问题：（1）坡度：1:tanhiml；坡角：．(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.（2）方位角：（3）仰角与俯角：第5页共36页仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.要点诠释：1)．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2)．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3)．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.(三).解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222abc；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sincosaABc，coscosaABc，cossinbABc，第6页共36页1tantanaAbB．(4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则2abcabrabc．（后面的公式利用面积得出）直角三角形的面积：①如图所示，111sin222ABCSabchacB△．（h为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCSrabc△．考点归纳：第7页共36页BCA考点一.锐角三角函数的概念1-1.正切函数例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第1题图③的邻边AA)(tan＝______，)(tan的对边BB＝______．例2．（2014•广州）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）．（A）（B）（C）（D）例3.如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BD：AD=1：4，试求tan∠BCD的值。第8页共36页CBADEHF例5．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D是AC边上的一点，DH⊥BC于H，BD交AE于F。已知DH：BD=3：4，求∠BFE的正切值．例6.（2014•江苏苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．练习：1.设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠A、∠B的正切值：(1)a=3,b=4；(2)a=6,c=10.2、（1）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，，则Atan的＝．第9页共36页DCBABCA3．在90,CABCRt中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正切值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变4.在Rt△ABC中∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切值．5.如图，∠A=22.5°，∠C=90°，求出22.5°正切值．6．如图，已知在Rt△ABC中，斜边的中线AD=6，AC=43，求∠BAD的正切值。7．已知平行四边形ABCD中，AB=BD=CD，且DB⊥AB，求tan∠CAB、tan∠DAC的值.BADC第10页共36页8．Rt△ABC中，∠C=90°，若33ACBC，则tanA=tanB=.9．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则其底角的正切值是。10.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为()A．43B．35C．34D．4511.如果方程2430xx的两个根分别是Rt△ABC(∠C=90°)的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．12.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，D为AC上一点，且△BCD与△BDA的面积之比为1：3，试求∠CDB的正切值。14．已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=43,AC上有一点E，满足AE:CE=2:3，求tan∠ADE的值。第11页共36页1-2正弦余弦函数例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是()A．513B．1213C．512D．135例2.（2014•山东威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且5a，12b，16c，下面四个式中错误的有()①sin516A；②cos34A；③tan512A；④sin34BA．1个B．2个C．3个D．4个例4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a：b=2：3，求sinA与sinB的值。第12页共36页例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD⊥AB于D，AC=8。试求：⑴sinA的值；⑵cos∠ACD的值；⑶CD的长。例6．如图，BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，S△AFD:S△EFB=9，∠BAE=，求sin+cos的值；例7.Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于()(A)acosAbsinB(B)asin