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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
cbaDCAB第一章勾股定理知识点一:勾股定理定义画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,量AB的长;一个直角边为5和12的直角△ABC,量AB的长发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,对于任意的直角三角形也有这个性质吗?直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)1.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)⑴两锐角之间的关系:;⑵若D为斜边中点,则斜边中线;⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:;(给出证明)⑷三边之间的关系:。知识点二:验证勾股定理知识点三:勾股定理证明(等面积法)例1。已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证:a2+b2=c2。证明:例2。已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证:a2+b2=c2。证明:知识点四:勾股定理简单应用在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知:a=6,b=8,求c(2)已知:b=5,c=13,求a知识点五:勾股定理逆定理如果三角形的三边长为cba,,,满足222cba,那么,这个三角形是直角三角形.bbbbccccaaaabbbbaaccaaACBDABAB利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:①先找出最大边(如c)②计算2c与22ab,并验证是否相等。若2c=22ab,则△ABC是直角三角形。若2c≠22ab,则△ABC不是直角三角形。1.下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是()A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为abcba2)(22,则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形3.已知0)10(862zyx,则由此zyx,,为三边的三角形是三角形.知识点六:勾股数(1)满足222cba的三个正整数,称为勾股数.(2)勾股数中各数的相同的整数倍,仍是勾股数,如3、4、5是勾股数,6、8、10也是勾股数.(3)常见的勾股数有:①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤11、60、61;⑥9、40、41.1.设a、b、c是直角三角形的三边,则a、b、c不可能的是().A.3,5,4B.5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可以是()A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七:确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示,长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,有一只甲虫从A出发,沿表面爬到C,最近距离是多少?2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是.知识点八:逆定理判断垂直1.在△ABC中,已知AB2-BC2=CA2,则△ABC的形状是()A.锐角三角形;B.直角三角形;C.钝角三角形;D.无法确定.2.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对知识点九:勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?ABCDA'B'C'D'ABC5米3米2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m,折断后,桅杆的顶部落在离底部的5m处,则桅杆断后两部分各是多长?4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度,他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他们把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好触地面,你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗?综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2–n2,2mn(m,n均为正整数,mn);④2a,12a,22a.其中能组成直角三角形的三边长的是()A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为abcba2)(22,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.4.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2,则()A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角C.c边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有()①6、7、8,②8、15、17,③7、24、25,④12、35、37,⑤9、40、41A、1个B、2个C、3个D、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图,∠C=∠B=90°,AB=5,BC=8,CD=11,则AD的长为()A、10B、11C、12D、139.如图、山坡AB的高BC=5m,水平距离AC=12m,若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共()A、19棵B、20棵C、21棵D、22棵10.Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,若c=2,则2a+2b+2c的值是()A、6B、8C、10D、411.下列各组数据中,不能构成直角三角形的一组数是()A、9,12,15B、45,1,43C、0.2,0.3,0.4D、40,41,912.已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________2.现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒,从中任取三根,能组成直角三角形,则其周长为cm.3.勾股定理的作用是在直角三角形中,已知两边求;勾股定理的逆定理的作用是用来证明.4.如图中字母所代表的正方形的面积:A=B=.5.在△ABC中,∠C=90°,若a=5,b=12,则c=.6.△ABC中,AB=AC=17cm,BC=16cm,则高AD=,S△ABC=。7.在Rt△ABC中,有一边是2,另一边是3,则第三边的平方是。8.在△ABC中,AC=17cm,BC=10cm,AB=9cm,这是一个_________三角形(按角分)。9.已知一个三角形的三边长分别是12cm,16cm,20cm,则这个三角形的面积为。三、简答题1.判断正误,并指出为什么?(1)△ABC的两边为3和4,求第三边解:由于三角形的两边为3和4,所以它的第三边c为5。(2)若已知△ABC为直角三角形,则第三边为5400225AB812252.在△ABC中,BC=m2-n2,AC=2mn,AB=m2+n2(m>n)。求证:△ABC是直角三角形。3.求斜边长17厘米,一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.(画图求解)4.已知一艘轮船以16/kmh的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口,以12/kmh的速度向东南方向航行,它们离开港口一个半小时相距多少千米?(画图求解)5.如图,一根旗杆在离地面9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断之前有多高?6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90,∠DBC=90,AD=3,AB=4,BC=12,求CD;家庭作业:一、基础达标:1.下列说法正确的是()A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2;B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2;C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,90A,则a2+b2=c2;D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,90C,则a2+b2=c2.2.△ABC的三条边长分别是a、b、c,则下列各式成立的是()A.cbaB.cbaC.cbaD.222cba3.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为()DABC12米9米3m4m20mA.121B.120C.90D.不能确定4.斜边的边长为cm17,一条直角边长为cm8的直角三角形的面积是.5.假如有一个三角形是直角三角形,那么三边a、b、c之间应满足,其中边是直角所对的边;如果一个三角形的三边a、b、c满足222bca,那么这个三角形是三角形,其中b边是边,b边所对的角是.6.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是三角形.7.如图,已知ABC中,90C,15BA,12AC,以直角边BC为直径作半圆,则这个半圆的面积是.8.一长方形的一边长为cm3,面积为212cm,那么它的一条对角线长是.二、综合发展:1.如图,一个高4m、宽3m的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.2.一个三角形三条边的长分别为cm15,cm20,cm25,这个三角形最长边上的高是多少?3.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.4.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?勾股定理综合二1.如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于2.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()cm23.已知:将正长方形纸片ABCD折叠两次,第一次折痕为AC,第二次折痕为AE,且点D落在F处.若长方形长为4,宽为3,求DE.ACBACDBADBCB′A′C′D′第14题图E1题ABCDEFABEFDC第2题4.已知:如图,△ABC中,∠C=90º,AD是角平分线,CD=15,BD=25.求AC的长.分类讨论思想1.在Rt△ABC中,已知两边长为3、4,则第三边的长为2.在Rt△ABC中,已知两边长为5、12,则第三边的长为3.等腰三角形的两边长为10和12,则周长为________,底边上的高是________,面积是_________。4.一个直角三角形,有两边长分别为6和8,下列说法正确的是()A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10确定三角形形状1.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.2.在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形?为什么?3.若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则△ABC为三角形(填锐角、直角或钝角)4.已知三角形的三边分别是n-2,n,n+2,当n是多少时,三角形是一个直角三角形?最短距离问题1.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,
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