试验设计—2k设计

2k设计汇报人：学院：时间：1/23一般的2k设计主要内容2k设计的耶茨算法2/23一般的2k设计2k设计有k个因子，每个因子2个水平。单因子效果：k个(A、B、C……K)两因子交互作用效果:个3因子交互作用效果:个k因子交互作用效果：1个24共4个因子，效果：A，B，AB，C，AC，BC，ABC，D，AD，BD，ABD，CD，ACD，BCD，ABCD，共有24-1=15个。2kC3kC总共2k-1个效果3/23因子水平组合因子效果IABABl+--+a++--b--+-ab-+++确定对照效果或对应的离差平方和。22设计效果计算代数符号表23设计效果计算代数符号表IABABCACBCABCl+--+-++-a++----++b+-+--+-+ab++++----c+--++--+ac++--++--bc+-+-+-+-abc++++++++水平组合效果一般的2k设计4/23一般的2k设计当k很大时用表不方便，给出一个一般方法如下：(对照)=(a±1)(b±1)…(k±1)等式左边有某个因子，等式右边相应的括号内就取“-”号，左边没有这个因子，就取“+”号。如：25设计中，共5个因子。因子A，B，C，D，E，(对照)ABCD=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)(e+1)5/23计算各因子的对照后还可估计效果并计算对应的离差平方和:根据定义：(对照)C=SC=对于22设计：=4对于2k设计：因子水平组合共2k项，所以=2k对应的离差平方和:SAB…K=(对照)mrrryC1m1r22nrCC（对照）因子水平组合lababmrrC12一般的2k设计mrrC12kn212KAB6/23一般的2k设计计算各因子的对照后还可估计效果并计算对应的离差平方和:AB…K=(对照)AB…KSAB…K=(对照)自由度的分配为:每个因子的效果和交互作用的效果，自由度都是1，共2k-1，总和的自由度为n2k-1，误差的自由度为2k(n-1)。n：每种水平组合下重复观察次数。kn22kn212KAB7/23方差来源平方和自由度k个主要效果ASA1BSB1...……kSK1个2因子交互作用ABSAB1ACSAC1………JKSJK1个3因子交互作用ABCSABC1ABDSABD1……IJKSIJK1……个k因子交互作用ABC…KSABC…K1误差ESE2k(n-1)总和TSTn2k-12k设计的方差分析表2kC3kCkkC8/2351Pn2k-13因子（k=3），2水平，每种水平组合下重复观察2次（n=2）。2k(n-1)方差分析表方差来源平方和自由度均方FA36.00136.0057.14B20.55120.5532.14C12.55112.5519.44AB2.2512.253.57AC0.2510.250.40BC1.0011.001.59ABC1.0011.001.59误差E5.0080.63总和T78.0015一般的2k设计9/23在2k设计中，即使k不太大，因子组合总数也可能很大。23设计有8个因子组合，每个组合测2个数值，试验次数为16。25设计有32个因子组合，26设计有64个因子组合，每种组合在重复多次试验，试验次数会更多，通常限制试验次数。51PB1.51.80.50.80.50.810-3-1-10-10111201212365例2.2.2数据表一般的2k设计AC10/23一般的2k设计经常有这种情况：每种组合只允许做一次试验，这时假设高等级的交互作用很小，它们的效果并入试验误差。如果重要的交互作用并入误差，误差估计就会增大，因此重要的交互作用不并入误差。高等级的交互作用与低等级的交互作用有联系，如果25设计中，效果A，B，C，AB，AC是很大的，ABC很可能也是大的。11/23一般的2k设计例题：在一个压力容器中生产某种化学产品。研究因子对产品的过滤速度的影响。这里有4个因子：温度(A)、压力(B)、反应物的浓度(C)、搅拌速度(D)。每个因子取2个水平，每种因子水平的组合做一次试验。得到的数据如下表所示。试分析各因子及两两交互作用对试验的影响。试验数据表（n=1）A0A1B0B1B0B1C0C1C0C1C0C1C0C1D04568488071606565D143754570100861049612/23一般的2k设计解：这是一个24设计试验。假设3因子、4因子的交互作用很小，把它们并入误差估计中。l=45，a=71，b=48，ab=65，c=68，ac=60，bc=80，abc=65，d=43，ad=100，bd=45，abd=104，cd=75，acd=86，bcd=70，abcd=96。根据24设计代数符号表，计算(对照)A=-l+a-b+ab-c+ac-bc+abc-d+ad-bd+abd-cd+acd-bcd+abcd=-45+71-48+65-68+60-80+65-43+100-45+104-75+86-70+96=1732ASA=(1/16n)(对照)=(173)2/16=1870.5613/23完全类似，可以求出下面几个对照和离差平方和：(对照)B=25(对照)C=79(对照)D=117(对照)AB=1(对照)AC=－145(对照)BC=19(对照)AD=133(对照)BD=－3(对照)CD=－9SB=1/16n(对照)=(25)2/16=39.06SC=390.06SD=85.56SAB=0.06SAC=1314.06SBC=22.56SAD=1105.56SBD=0.56SCD=5.062B一般的2k设计14/23一般的2k设计24设计代数符号表15/23一般的2k设计总离差平方和：误差的平方和：SE=ST-SA-SB-SC-SD-SAB-…-SCD=5730.94-1870.56-39.06-…-5.06=127.84方差分析表如下：22222222222111111214365965730.942*2*2*216TijklijklySy＝4516/23方差分析表（n=1）给定α=0.01，F0.01(1，5)=13.26，FC=15.2513.26，FA13.26，FD13.26，FAC13.26，FAD13.26，因子A，C，D及交互作用AC，AD对试验影响显著，其余情况对试验影响不显著。方差来源平方和自由度均方FA1870.5611870.5673.15B39.06139.061.53C390.061390.0615.25D855.561855.5633.46AB0.0610.061AC1314.0611314.0651.39AD1105.5611105.5643.24BC22.56122.561BD0.5610.561CD5.0615.061误差E127.84525.57总和T5730.9415一般的2k设计17/23因子B及含B的交互作用对试验影响很小，把B舍弃，只考虑A，C，D及其交互作用，B的两个水平下的观测值看做两次重复观察，把24设计的一次观察，变为23设计的两次观察问题。(对照)ACD=13，SACD=1/16n(对照)=10.56列出方差分析表如下2ACD一般的2k设计18/23因子A，C，D，23设计的方差分析表对于给定的α=0.01，查表F0.01(1，8)=11.26，FA，FC，FD，FAC，FAD，都大于11.26，A，C，D及AC，AD对试验影响显著，CD，ACD对试验影响不显著。方差来源平方和自由度均方FA1870.5611870.5683.56C390.061390.0617.38D855.561855.5638.13AC1314.0611314.0658.56AD1105.5611105.5649.27CD5.0615.061ACD10.56110.561误差E179.52824.44总和T5730.9415一般的2k设计19/23例2.2.2三因子耶茨算法表23设计，第3列中的数就是相应因子的对照，对于2k设计，第k列中的数就是相应因子的对照。因素组合反应(1)(2)(3)对照效果估计(3)/n2k-1平方和(3)2/n2kl-4-3116I——a141524A3.0036.00b-121118B2.2520.25ab513136AB0.752.25c-15714C1.7512.25ac36112AC0.250.25bc2414BC0.501.00abc11954ABC0.501.002k设计的耶茨算法20/2323设计耶茨算法的通用公式因素组合(1)(2)(3)对照ll+al+a+b+abl+a+b+ab+c+ac+bc+abcIab+abc+ac+bc+abc-l+a-b+ab-c+ac-bc+abcAbc+ac-l+a-b+ab-l-a+b+ab-c-ac+bc+abcBabbc+abc-c+ac-bc+abcl-a-b+ab+c-ac-bc+abcABc-l+a-l-a+b+ab-l-a-b-ab+c+ac+bc+abcCac-b+ab-c-ac+bc+abcl-a+b-ab-c+ac-bc+abcACbc-c+acl-a-b+abl+a-b-ab-c-ac+bc+abcBCabc-bc+abcc-ac-bc+abc-l+a+b-ab+c-ac-bc+abcABC2k设计的耶茨算法23设计效果计算代数符号表IABABCACBCABCl+--+-++-a++----++b+-+--+-+ab++++----c+--++--+ac++--++--bc+-+-+-+-abc++++++++组合效果21/23因素组合反应(1)(2)(3)对照效果估计(3)/n2k-1平方和(3)2/n2kl-4-3116I——a141524A3.0036.00b-121118B2.2520.25ab513136AB0.752.25c-15714C1.7512.25ac36112AC0.250.25bc2414BC0.501.00abc11954ABC0.501.00例2.2.2三因子耶茨算法表方差来源平方和自由度均方FA36.00136.0057.14B20.55120.5532.14C12.55112.5519.44AB2.2512.253.57AC0.2510.250.40BC1.0011.001.59ABC1.0011.001.59误差E5.0080.63总和T78.0015普通方法获得的方差分析表2k设计的耶茨算法22/23例2.2.2三因子耶茨算法表计算上的部分检验：反应列元素的平方和的2j倍等于列（j）的元素的平方和。本例，反应列元素的平方和178，列(1)的元素的平方和356，列(2)的元素的平方和712，列(3)的元素的平方和1424。因素组合反应(1)(2)(3)对照效果估计(3)/n2k-1平方和(3)2/n2kl-4-3116I——a141524A3.0036.00b-121118B2.2520.25ab513136AB0.752.25c-15714C1.7512.25ac36112AC0.250.25bc2414BC0.501.00abc11954ABC0.501.002k设计的耶茨算法23/23