第二节-微积分基本公式

第二节微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数三、牛顿－莱布尼兹公式四、小结变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中一、问题的提出上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，二、积分上限函数及其导数1.定义定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa,)(bxaabxyo2.积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx连续函数的积分上限函数的导数等于其本身。推论的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.推论如果在上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(],[ba如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf证dttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF)()()()(xbxadttfdxdxF例1.求下列函数的导数dxxdxdx02cos).1(2cosxdtttfdxdx0)().2()(xxfdttxfdxdx0)().3(dttfxdxdx0)()()(0xxfdttfxdtedxdxtcos02).4(dtedxdxuut02cosdxdueu2)sin(2cosxex例2求(1).lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则..sinlim).2(3sin020xdttxx解2203cos)sin(sinlimxxxx原式2203cossinlimxxxx.31.sintanlim).3(0tansin000xxxdttdtt解xxxxx200sec)sin(tancos)tan(sinlim原式xxxxx200seccoslim=－1设)(xf在),(内连续，且0)(xf，证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF例3.,)()()()()(200xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明方程1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.令例4.定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证三、牛顿—莱布尼茨(N-L)公式令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa,)()(CdttfxFxa令bx).()()(aFbFdxxfba牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式)()()(aFbFdxxfba微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量。注意(1)当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.(2)被积函数不连续，不能直接应用基本公式，但可利用区间可加性进行计算.求定积分问题转化为求原函数的问题.例5求.)1sincos2(20dxxx原式　20]cossin2[xxx.23例6设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12例7求.},max{222dxxx解由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211xyo2xyxy122计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.例8求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln解面积0sinxdxA0cosx.2例9xyo例10求.12111limnnnnn解ninin11lim原式ninnin1111limninnin1111limdxx101110)1ln(x=ln2例11求.12111lim222222nnnnnn解nininn122lim原式ninnin12111limninnin12111limdxx1021110arctanx4例12汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？提示：首先要计算从开始刹车到停车所需的时间T,然后计算速度v(t)在时间区间[0,T]上的定积分.t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解m/s10m/s3600100036km/h360v.于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba五、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．思考题设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题解答dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbxxdttxx020coslim)3(baxdxedxd22)1(计算下列各题223)1ln()2(xdtttdxd20)()4(dxxf21,210,)(2xxxxxf　　　其中xxdttdxdcossin2)cos()5(xtxtxdtedte022022)(lim)6(=0)1ln(23xx=165)sincos()cos(sin2xxx=0习题