西华大学2013应用计算方法参考答案

第页(共3页)1研究生课程考试试题课程名称：计算方法考试类型（考试或考查）：考试年级：2013学时：54考试时间：2013年12月20日专业：学生姓名:学号:一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）1、经过四舍五入得到近似数*56.430x，它有5位有效数字。2、设A是n阶方阵，A的1-范数为11maxnijjnia。3、设1031A，A的谱半径()a1。4、用牛顿迭代法求方程3310xx的根，迭代公式为3312231213(1)3(1)kkkkkkkxxxxxxx。5、设解线性方程组的迭代公式为(1)()kkxBxd，则迭代法收敛的充要条件是()1B。6、设()klx（0,1,,kn）是关于1n个互异结点的n次插值基函数，则0()nkklx1。7、对于1n个结点的插值型求积公式0()()nbkkakfxdxAfx至少具有n次代数精度。8、对初值问题20(0)1yyy，当步长h满足1010h时，Euler方法是绝对稳定的。二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）1、下列诸数是按四舍五入方法得来的近似数：1.1020p,0.031q,385.6r试计算(1)pqr；(2)pqr，并并指出计算结果有多少位有效数字。解:151()100.000052ep,131()100.000052eq,341()100.052er.(1)pqr的绝对误差限为()0.05010.5pqr,又386.1330pqr,所以331()0.5102epqr,pqr有3位有效数值,故386pqr.(2)pqr的绝对误差限为()||()||()||()0.05pqrqrpprqpqr,13.1728672pqr,所以231()0.05102epqr,pqr有3位有效数值,故13.2pqr2、应用牛顿法于方程30xa,导出3a的迭代公式，并讨论其收敛性。解:(1)122133kkkaxxx.(2)当0a时,3a是方程30xa的单根,此时牛顿法在3a附近是平方收敛的.当0a时,迭代公式退化为123kkxx,0kx,迭代公式收敛.3、用LU分解求解方程组：第页(共3页)2123123123323423xxxxxxxxx。解:设312111211A,343b,设ALU,则100110325134L,3124103311004U,方程化为:,Lyb,Uxy,解Lyb得11(3,3,)4Ty.解方程Uxy得:11x,22x,31x.4、取初始向量(0)(0,0,0)Tx，用Jacobi迭代法求方程组1231231232213225xxxxxxxxx的解。写出迭代公式，并计算出(4)3x。解:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223522kkkkkkkkkxxxxxxxxx,当(0)(0,0,0)Tx时,(1)(1,3,5)Tx,(2)(5,3,3)Tx,(3)(1,1,1)Tx,(4)(1,1,1)Tx所以(4)31x5、用线性插值计算1.9的近似值，应选取怎样的结点？计算出近似值。解:由于1.9介于1和4之间,而1和4的算术平方根为1和2.故01x,14x,此时01y,12y.由线性插值公式得1.941.911.9121.314416、求数据:ix-3-2-10123iy4230-1-2-5的最小二乘拟合2012yaaxax。解:法方程为012702810280392801967aaa,解之得023a,13928a,21184a,故数据的最小二乘拟合函数为22391132884yxx.7、试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式22()()(0)()fxdxAfaBfCfa第页(共3页)3有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否是Gauss型的？解:公式要确定的参数有4个,先设公式对函数23()1,,,fxxxx精确成立,注意当3(),fxxx时所得方程相同.故最后假设公对函数24()1,,,fxxxx精确成立,得224440163645ABCAaCaAaCaAaCa解方程组得109A,169B,109C和325a,求积公式为2210316103()(2)(0)(2)95995fxdxfff与高斯型求积公式1153853()()(0)()95995fxdxfff比较,得出公式是Gauss型的,它有5次代数精度.三、证明题（6分）证明求解微分方程初值问题的中点方法112(,)nnnnyyhfxy为二阶方法。证明:由局部截断误差的定义111()()2(,())nnnnnTyxyxhfxyx()()2()nnnyxhyxhhyx23()()()()2nnnhyxhyxyxOh23()()()()2nnnhyxhyxyxOh2()nhyx3()Oh局部截断误差为3h同阶无穷小,故中点方法是二阶方法.