西安科技大学数学建模作业

1..某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′152；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到575，组成接力队的方案是否应该调整？5名队员4种泳姿的百米平均成绩解：主要函数：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;约束条件：x11+x12+x13+x14=1;x21+x22+x23+x24=1;x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1;lingo模型程序和运行结果：甲乙丙丁戊蝶泳1′0685721′181′101′074仰泳1′1561′061′0781′1421′11蛙泳1′271′0641′2461′0961′238自由泳586535945721′024最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0成绩为253.2(秒)=4′132即：甲—自由泳、乙—蝶泳、丙—仰泳、丁—蛙泳2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期内A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。一个生产周期内加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示加工每个零件时间表（单位:机时/个）机床零件B1B2B3A1123A2113加工每个零件成本表(单位：元/个)机床零件B1B2B3A1235A2336问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？解：设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x11、x21、x31，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x12、x22、x32,可建立以下线性规划模型：主要函数：min=2*x11+3*x21+5*x31+3*x12+3*x22+6*x32;约束条件：1*x11+2*x21+3*x31=80;1*x12+1*x22+3*x32=100;1*x11+1*x12=70;1*x21+1*x22=50;1*x31+1*x32=20;lingo模型程序和运行结果：最优解为x11=68,x21=0,x31=4,x12=2,x22=50,x32=16;最低成本价为408元。即：在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为68、0、4，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为2、50、16。3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益(%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资?（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作?（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变?解：（1）设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E的金额分别为：X1、X2、X3、X4、X5（万元）主要函数：max=0.043*x1+0.054*x2*0.5+0.050*x3*0.5+0.044*x4*0.5+0.045*x5;约束条件：x2+x3+x4=400;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x1+x2+x3+x4+x5=1000;lingo模型程序和运行结果：因此，最优解为X1=218.2，X3=73.64，X5=45.4最优解方案不投资证劵B和证劵D，投资证劵A为218.2万元，投资证劵C为736.4万元，投资证劵E为45.4万元;总收益为29.8万元。（2）主要函数：max=0.043*x1+0.054*x2*0.5+0.050*x3*0.5+0.044*x4*0.5+0.045*x5;约束条件：x2+x3+x4=400;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x1+x2+x3+x4+x5=1100;lingo模型程序和运行结果：X1=240,X3=810,X5=50即应投资证劵A240万元，证劵C810万元，证劵E50万元。此时收益总额为32.8万元，再减去所要支付的利息2.75万元，还剩30.05万元。所以选择改变投资。（3）若证券A的税前收益增加为4.5%：30.2729.83，投资改变。若证券C的税前收益减少为4.8%：30.0929.83，投资改变。4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。班次时间最少护士16时—10时60210时—14时70314时—18时60418时—22时50522时—02时20602时—06时30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？解：设刚加入工作时的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6；主要函数：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件：x1+x6=60;x2+x1=70;x3+x2=60;x4+x3=50;x5+x4=20;x6+x5=30;lingo模型程序和运行结果：最优解为：x1=40、x2=30、x3=30、x4=20、x5=0、x6=30，最少需要护士150人。5．某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？解：设该服务点坐标为（x,y）主要函数：min=@sum(VOR:z*@sqrt(@sqr(xx-x)+@sqr(yy-y)));条件：VOR/1..12/:x,y,z;x,y,z=006008.20.510000.54.98005.7514000.776.4912002.878.767004.433.266002.589.328000.729.9610009.763.1612003.197.210005.557.881100;坐标为（3.6,6.5）距离坐标点11最近。应该建在11点。6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为2bxaxxf(元)，其中x是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？讨论a、b、c、变化对计划的影响，并作出合理的解释。解：设工厂第一季度生产x1台发动机，第二季度生产x2台发动机，第三季度生产x3台发动机。主要函数：min=50*x1+0.2*x1*x1+4*(x1-40)+50*x2+0.2*x2*x2+4*(x1-40+x2-60)+50*x3+0.2*x3*x3;约束条件：x1=100;x2=100;x3=100;x1=40;x1+x2=100;x1+x2+x3=180;lingo模型程序和运行结果：最优解为：x1=50,x2=60,x3=70;工厂第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机。可使总费用最低，总费用为11280.00元。7.广告费用与效应。某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。彩漆与预期销售量售价（元）预期销售量（桶）售价（元）预期销售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的广告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售将是预期量的1.95倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系见下表。广告与销售增长因子广告费（元）销售增长因子广告费（元）销售增长因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销策略（每桶彩漆的售价和投入的广告费用）使得预期的利润最大？解：设售货单价为x(元)，预期销售量为y(桶)，广告费为z(元)，销售增长因子为k。投入广告后实际销售量为s(桶)，获得的利润为P(元)。预期销售量y随售价x的增加而减小，可近似用线性关系表示y=a0+a1x(1)其中，a0和a1是待定常数。销售增长因子k随广告费用z先增后减，可用二次方程表示k=b0+b1z+b2z2(2)其中，b0，b1和b2也是待定常数。待定常数可根据表中数据拟合。投入广告费之后，实际销售量为s=ky(3)利润是收入减支出，收入是售货单价x乘以销售量s；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量s。因此利润为P=sx–2s-z=ky(x–2)-z=(b0+b1z+b2z2)(a0+a1x)(x–2)-z(4)这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。令0Px，0Pz即km[a1(xm–2)+(a0+a1xm)]=0(5)(b1+2b2zm)(a0+a1xm)(xm–2)–1=0(6)由(5)得最大利润的单价010111(2)122maxaaaa(7)由(6)得最大利润的广告费111222012014111[]()2()(2)24mmmazbbbaaxxbaa(8)最大利润的销售增长因子为km=b0+b1zm+b2zm2(9)最大利润的预期销售量为ym=a0+a1xm(10)投入广告费之后，最大利润的实际销售量为sm=kmym(11)最大利润为Pm=kmym(xm–2)-zm(12)[算法]先计算拟合常数，画出拟合曲线。再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。画出利润曲面，标记最大值。[程序]zqy2_3advertisement.m如下。%广告效应clear%清除变量x=2:0.5:6;%售价y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]*1000;%预期销售量经验数据z=(0:7)*1e4;%广告费k=[1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8];%销售增长因子经验数据figure%创建图形窗口subplot(2,1,1)%子图plot(x,y,'rx')%画预期销售量曲线gridon%加网格fs=12;%字体大小title('预期销售量和售价的拟合线','FontSize',fs)%标题xlabel('售价(元)','FontSize',fs)%横坐标ylabel('预期销售量(桶)','F