平行线分线段成比例定理

课题：平行线分线段成比例定理没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。——牛顿（Newton）平行线分线段成比例定理学习目标：1、会识别平行线分线段成比例的变式图形。2、能写出图中的成比例线段。3、理解平行线分线段成比例定理的推论。4、会用推论去计算和证明有关的问题。5、建立一种解题模型。6、会用“运动”的观点去研究解决问题。7、欣赏数学的美学文化——理性美、结构美。一、复习导入APBQRCDSETGFL1L2L3L4L5L6AQQCDTTF思考并猜想：根据上述结论，你还能发现什么新的结论？如图：，且AP=PB=BQ=QR=RC.(1)你能推出怎样的结论？为什么？123456//////////llllll（2）三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?由平行线等分线段定理可知.(注意其前提条件是:等距)3232三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?？那么32若EFDE，,BCAB？那么43若EFDE,，BCAB猜想：3243你能否利用所学过的相关知识进行说明？ABCDEFl1l2l3ll二、定理的引入及推导ABCDEFl1l2l332BCAB考察设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2、P3.P1P2P3Q1Q2Q3a1a1a3则：.32EFDEBCAB这时你想到了什么？AP1=P1B=BP2=P2P3=P3CDQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F平行线等分线段定理分别过点P1,P2,P3作直线a1,a2,a3平行于l1,与l的交点分别为Q1,Q2,Q3.ll引导材料观察图1，Ｌ１∥Ｌ２∥Ｌ３，对照图1说出平行线分线段成比例定理的内容？且写出比例式？图1ＡＤＢFEＣＬ１Ｌ２Ｌ３Ｌ５Ｌ４答案（1）三条平行线截两条直线(两条直线被一组平行线所截)，所得的对应线段成比例。AD/DB=FE/EC（上/下=上/下）AD/AB=FE/FC（上/全=上/全）DB/AB=EC/FC（下/全=下/全）ADBFECL1L2L3L4L5图1答案（2）DB/AD=EC/FE（下/上=下/上）AB/AD=FC/FE(全/上=全/上)AB/DB=FC/EC(全/下=全/下)ADBFECL1L2L3L4L5图1ABCDEFl1l2l3ll例：l１∥l２∥l３AB=4,DE=3,EF=6.求BC的长解：∵l１∥l２∥l３∴AB/BC=DE/EF(平行线分线段成比例)∵AB=4DE=3EF=6∴4/BC=3/6∴BC=8ab基本图形：“A”字形L1L2L3ACDEFEFDEBCABab基本图形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）FabEFDEBCAB教学设计（1）1.观察图2、图3，说出它们分别是由图1怎样变化得到的？且写出图2、图3中有关的比例式？ADBFECADBECL1L2L3L1L2L3图1图2（）怎样变化？一般到特殊平行移动直线FC与直线AB相交，交点A在L1上。(F)教学设计（1）续续观察ADBFECL1L2L3图1（）FADBCL1L2L3图3怎样变化？一般到特殊平行移动直线FC与直线AB相交,交点D在L2上(E)教学设计（2）思考：把图2、图3中的部分线擦去，得到图4、图5，上述比例式还成立吗？ADBEL1L2L3C部分线擦去,取一部分ADBEC（）字母型A比例式，因为图2图4一般到特殊成立图形中有关的对应线段均没改变教学设计（2）续续思考FADBC（E）图3部分线擦去,取一部分FAD（E）BC图5（字母型）比例式，因为一般到特殊成立图形中有关的对应线段均没改变X教学设计（3）猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三条平行线）发生了什么变化？⑵结论有没有变？⑶猜一猜，你能发现什么规律？ADBECADBEC图2图4FADBC（E）FAD（E）BC图3图5部分线擦去,取一部分一般到特殊部分线擦去,取一部分一般到特殊（1）三条平行线剩下两条，且变为三角形的一边和截三角形另两边或两边延长线的线段。其中图4中DE∥BC，图5中AF∥BC（2）结论没变，所得的对应线段成比例。（3）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。例题解析已知：DE∥BC，AB＝15，BD＝4，AC＝9，求：AE的长？证明：∵DE∥BC∴AB/BD=AC/CE（平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。）即15/4=9/CE∴CE=12/5∴AE=AC+CE=9+12/5=11.4ABDCE图6课堂练习（1）及答案已知：DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10求：AD的长？解：∵DE∥BC∴AD/AB=AE/AC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。）即AD/14=10/18∴AD=70/9ADBEC图7课堂练习（2）及答案已知：ED∥BC，AB＝5，AC＝7，AD＝2求：AE的长？解：∵ED∥BC∴AD/AB=AE/AC（平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所得的对应线段成比例）即2/5=AE/7∴AE=14/5EDABC图8572例：已知，点E为平行四边形ABCD的边CD的延长线上的一点,连接BE,交AC于点O，交AD于点F。求证：ABEDCFo图10BOEOFOBOOBEOFOBOAOCOBOEOCE//AB)(AOCOFOBOAF//BC）（平行线分线段成比例平行线分线段成比例证明：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.FEBACD已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、EBCDEACAEABAD求证：DE//BCACAEABADEF//ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD例2如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2,BC=9.求BF和CF的长.FACB分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.解∵DE//BC3264ACAEABAD∵DF//ACCBCFABAD6,932CFCF即36-9BFDE例3如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.FEBACD分析:分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论证明AEACADABDE//BCABC,,中在AEACAFADEF//CDADC,,中在AFADADAB∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项知识目标小结1.定理名称:2.文字语言:3.图形语言:4.符号语言:5.模型语言:ADEBCFADBC字母型字母型图4图5平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质定理1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。若DE∥BC若AF∥BC则：则：AX