西工大计算方法试题06-10(含答案)

一、考试内容线性方程组和非线性方程（组）的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、微积分的计算、微分方程定解问题的求解等，都是工程、科技、统计等实际问题中大量碰到的数学问题，这些问题的精确解很难求出。而《计算方法》则是一门适合于计算机计算求解的数值方法，它简单可行，能有效求出上述数学问题的近似解。通过本课程的学习，要求学生能掌握利用计算机求解基本数学问题常用的数值计算方法，学会构造基本的计算格式，并能作一定的误差分析，使学生具备基本的科学计算能力。主要有：1.了解计算方法的认务和特点；2.熟练掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛顿迭代法和弦割法3.熟练掌握线性代数方程组的解法，直接解法中的高斯消去法、矩阵的直接三角分解法，平方根分解法，解三对角方程组的追赶法；解线性方程组的迭代法，简单迭代法，雅可比迭代法，赛德尔迭代法，SOR方法及其收敛性4.熟练掌握矩特征值和特征向量的计算，乘幂法与反幂法，古典雅可比方法，雅可比过关法5.熟练掌握插值法，拉格朗日插值法，牛顿插值法，等距节点插值法，埃尔米特插值法，三次样条插值法6.熟练掌握最小二乘法与曲线拟合，掌握矛盾方程组与最小二乘法，数据的多项式拟合，可化为线性拟合模型的曲线拟合7.熟练掌握数值积分与数值微分，包括牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求积算法、高斯型求积公式和数值微分；8.熟练掌握常微分方程初值问题数值解法，包括欧拉法与梯形法、泰勒展开法与龙格-库塔法、线性多步法2006-2007第一学期一.填空1）近似数253.1*x关于真值249.1x有____位有效数字；2）设有插值公式)()(111knkkxfAdxxf，则nkkA1=______；（只算系数）3）设近似数0235.0*1x，5160.2*2x都是有效数，则相对误差)(*2*1xxer____；4）求方程xxcos的根的牛顿迭代格式为______；5）矛盾方程组1211212121xxxxxx与121222212121xxxxxx得最小二乘解是否相同______。二.用迭代法（方法不限）求方程1xxe在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于210时迭代结束。三.用最小二乘法xbeaxy2中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个点（1，-0.72）(1.5,0.02),(2.0,0.61),(2.5,0.32)（结果保留到小数点后第四位）四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组7173530103421101002014321xxxx五．设要给出xxfcos的如下函数表用二次插值多项式求)(xf得近似值，问步长不超过多少时，误差小于310。六.设有微分方程初值问题2)0(2.00,42yxxyy－ixhx00xhx0)(ixf)(0hxf)(0xf)(0hxf1）写出欧拉预估－校正法的计算格式；2)取步长h=0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。七.设有积分101xdxI取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）；用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。八.对方程组314122111221321xxx－1.用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？2.取初始向量T)0,0,0(x，用雅可比迭代法求近似解)1(kx，使)3,2,1(103)()1(ixxkiki九.设f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明)()(81)(maxmax2xfabxfbxabxa参考答案：1:(1)3(2)2(3)0.0023（4）,...2,1,0,sin1cossinsin1cos1kxxxxxxxxxkkkkkkkkk(5)否2.方程的等价形式为xex，迭代格式为kxkex1。收敛性证明；当)1,0(x时，1100eeex1)('0eexx所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为5.00x，迭代结果如下nnx1nnxx00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.nx11.52.02.52nx12.254.06.25nxe2.718284.481697.3890612.18249矛盾方程组为32.061.002.072.018249.1225.638906.70.448169.425.271828.21ba对应的正则方程组为538196.6765.34859.2304989.1184989.118125.61ba解得0009.1,0019.2ba所以拟和曲线方程为xexy0009.10019.224.由矩阵Doolittle分解的紧凑记录形式有71735301034211010020146352010122110100201回代求解得2244x,2)16(2143xx11103432xxx，1102054321xxxx方程组的解向量为T)2,2,1,1(x.5.令311)3(10))()((!3)(max11kkkxxxxxxxxxfkk可求得h0.2498（或h0.2289）6.2724.1,256.1,62.1,6.12)0(21)0(1yyyy7.0.69325103333.1)(－fR8.（1）Jacobi迭代法的迭代矩阵为022101220－JB谱半径10JB.此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.（2）102,102,768,314)4()3()2()1(xxxx9.以bxax10,为插值节点，做Lagrange插值：))()((!21))()((!21)()(1bxaxfbxaxfxLxf其中],[)(bax。故)()(81))(()(21))()((!21)(maxmaxmaxmaxmax2xfabbxaxxfbxaxfxfbxabxabxabxabxa2007-2008第一学期1填空（15分）1）设近似数*19.2270x，*20.8009x都是四舍五入得到的，则相对误差**12()rexx______2）拟合三点A(3,1),B(1,3)，C(2,2)的平行于y轴的直线方程为____.3)近似数*0.0351x关于真值0.0349x有_____位有效数字.4）插值型求积公式1111()()nkkkfxdxAfx至少有______次代数精确度.5)Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度.2.（10分）已知曲线32.89yx与22.40.51yxx在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1nx，当5110nnxx误差小于410时停止迭代。3．（10分）用最小二乘法确定xbaxyln2中的常数a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点(1，2.01),(2，7.3),(3,16.9),(4,30.6)(计算结果保留到小数点后4位)4.(10分)用乘幂法求矩阵2321034361A的按模最大的特征值1的第k次近似值()1k及相应的特征向量()1kx。要求取初始向量0(1,2,1)Tu，且()(1)110.1kk。5．（10分）设有方程组1122331312(0)32axbaxbaaxb写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩阵为：当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。6．（10分）已知四阶连续可导函数)(xfy的如下数据：ix12)(ixf05)('ixf110试求满足插值条件''()(),()()iiiipxfxpxfx的三次插值多项式()px，并写出截断误差()()()Rxfxpx的导数型表达式（不必证明）。7．（15分）设有积分231xIxedx1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。8．（10分）给定初值问题2'0,(1)1,11.4yyyxx写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式；取步长0.2h，求(1.4)y的近似值。9．（10分）用迭代法的思想证明：lim2222k（等号左边有k个2）。参考答案：1:(1)6.78×10－5,(2)x=2(3)2（4）n-2(5)32.切线斜率相等：51.08.432xx，051.08.432－xx牛顿迭代格式：8.4651.08.4321nnnnnxxxxx－取6.10x，得70000.1,70000.1,70002.1,70625.14321xxxx3.矛盾方程组：8.304ln169.163ln93.72ln401.2bababaa正则方程组：04713.6691.67260921.384081.3484081.34354ba0042.1,9997.1ba4.取初始向量T)121()0(V，用乘幂法公式进行计算，且取)(1)1(1)(1kkkVV，得0.111，TVx)20226,27032,13516()4(5.(1)迭代格式为)1(2)1(13)1(3)(3)1(12)1(2)(3)(21)1(12312131kkkkkkkkkxxbaxxxbaxxxbax(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为023201310aaaaaaJB(3)224232131aaaaaaaJBI谱半径aJ2B.由1JB得2a此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.6.)2,1()(,)2()1(!4)()()()(,12)(22)4(3xxxfxpxfxRxxxp7．20.21740048.0)(fR8．（1）Euler预-校法的计算格式为),(),(2),()0(111)0(1nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxfhyy（2）将xyyxfh2),(,2.0代入，则12)0(1212)0(1)(1.02.0nnnnnnnnnnxyxyyyxyyy代入1,100yx得22.1)2.1(2.11]0[1yyy，49798.1)4.1(4681.12]0[2yyy9．证明考虑迭代格式,1,0,2,010kxxxkk，则21x，222