1.1.2余弦定理

1.1.2余弦定理一、实际应用问题隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。BCA二、转化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A求：a（即BC）.CABbca=?三、证明问题CABbca=?CABcba向量法：四、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。或（推论）2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCabCABbca=?B08,3,60,ABkmACkmA转化：在△ABC中，求。aBCBA例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。B五、余弦定理基本应用1.已知两边及它们的夹角，求第三边；2.已知三边，求三个角。2222cosBCABACABACA22083283cos601649482497BCkm例2：在△ABC中，已知a=2,b=，求A。231c解：222cos2bcaAbc222(2)(31)222(31)2423422(31)2(31)22(31)22∴A=45°12例3：在△ABC中，已知a=2,b=，解三角形。231c例3：在△ABC中，已知a=2,b=，解三角形。231c例3：在△ABC中，已知a=2,b=，解三角形。231c解：由例2可知A=45°方法一：方法二：思考在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取。练习1：在△ABC中，已知解：2222cosbacacB22(33)22332cos1503274123()2=31+18=49∴b=7°33,2,150acBb求练习2：在△ABC中，,求△ABC的最小角。7,43,13abcabcC为最小角222cos2abcCab222713132743（4）（）32030C解：六、作业1.在△ABC中，已知a=7,b=5,c=3，求A。2.在△ABC中，已知,,B=45°，求b和A。23a62c3.在△ABC中，已知,,A=45°，求边长c，B，C。2a2b