角平分线的性质定理及其逆定理.

如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗?桥头焦寺旁堤刘（比例尺为１：５００００）A区域角平分线的性质定理及其逆定理复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA121.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE复习提问2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。OPAB我的长度定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等条件：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPEDＣ1234已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。交换定理的条件和结论得到的命题为：角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCB√不必再证全等合作探究′逆命题到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.OCBAPDE逆定理:到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.用符号语言表示为:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,且PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上OCBAPDE二.角平分线性质定理的逆定理基本应用填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1＝∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.OABECD１:如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。BANMO小区CP实际应用3.已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCMNPDEF三角形内角的角平分线结论:三角形三个角的平分线相交于一点.观察这三条角平分线,你发现了什么?做一做1回味无穷一.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.二.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.小结拓展三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理独立作业33.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化，已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且OD=2米求：△MON的面积EDPONM证明两角相等的方法：１．同角（或等角）的余角（补角）相等．２．平行线的性质３．对顶角相等．４．全等三角形的对应角相等５．等边对等角６．角平分线的性质定理及其逆定理证明线段相等的方法：•１．全等三角形的对应边相等．•２．角平分线的性质定理•３．等角对等边•４．等腰三角形的三线合一•５.垂直平分线的性质定理（练习）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E求证：点P在∠MNO的平分线上EDPONMF挑战自我如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD＝4cm，AC的长(2)求证:AB＝AC＋CD.EDABC独立作业22.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.ABCFDE如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一层楼！