解析几何存在性问题(含答案)

1/9解析几何——存在性问题1、已知椭圆1:C22221(0)xyabab的离心率为63e，过1C的左焦点1F的直线:20lxy被圆2222:(3)(3)(0)Cxyrr截得的弦长为22.（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）设1C的右焦点为2F，在圆2C上是否存在点P，满足2122aPFPFb,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.[解]：（1）因为直线l的方程为:20lxy，令0y，得2x，即1(2,0)F…1分∴2c，又∵63cea，∴26a，2222bac∴椭圆1C的方程为221:162xyC.…４分（2）存在点P，满足2122aPFPFb∵圆心2(3,3)C到直线:20lxy的距离为33222d，又直线:20lxy被圆222:66310Cxyxym截得的弦长为22，∴由垂径定理得22()2222lrd，故圆2C的方程为222:(3)(3)4Cxy.…………８分设圆2C上存在点(,)Pxy，满足2122aPFPFb即123PFPF，且12,FF的坐标为12(2,0),(2,0)FF，则2222(2)3(2)xyxy，整理得2259()24xy，它表示圆心在5(,0)2C，半径是32的圆。∴222537(3)(30)22CC………………１２分故有2332222CC，即圆C与圆2C相交，有两个公共点。∴圆2C上存在两个不同点P，满足2122aPFPFb.………１４分2/92、平面直角坐标系xOy中，椭圆：12222byax（0ba）的离心率为36，焦点为1F、2F，直线l：02yx经过焦点2F，并与相交于A、B两点．⑴求的方程；⑵在上是否存在C、D两点，满足ABCD//，DFCF11？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．[解]：依题意)0,2(2F，2c……2分，由36ace得6a……3分222cab，椭圆的方程为12622yx……4分⑵（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵ABCD//，∴1ABCDkk，设直线CD的方程为mxy……5分由mxyyx12622……6分，得06)(322mxx……7分0)63(6422mmxx，01296)63(44)6(222mmm（*）设),(11yxC，),(22yxD，则2321mxx，463221mxx……9分由已知DFCF11，若线段CD的中点为E，则CDEF1，111CDEFkk………10分)0,2(1F，)2,2(2121yyxxE即)4,43(mmE，由124341mmkEF，解得4m……13分4m时，09612962m，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD……14分（方法二）假设存在),(11yxC，),(22yxD，线段CD的中点为),(00yxE，则2yy,2210210yxxx，12121xxyy……5分由12612622222121yxyx两式相减得：0))((21))((6121212121yyyyxxxx……7分，代入、化简得：03100yx由已知DFCF11，则CDEF1，111CDEFkk……9分由12001xykEF得，200xy，由①②解得1,300yx，即)1,3(E……11分直线CD的方程为：)4(xy，联立412622xyyx得0422442xx……13分∵0964244242，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线CD……14分3/93、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点),1,5()3,1(NM、若点C满足),()1(RtONtOMtOC点C的轨迹与抛物线：xy42交于A、B两点．(1)求证：OBOA；(2)在x轴上是否存在一点),0,(mP使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点,若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由)()1(RtONtOMtOC知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是)1(4)3(13xy,即4xy由xyxy442016124)4(22xxxx1621xx,1221xx1616)(4)4)(4(212121xxxxxxyy02121yyxx,故.OBOA………..6分(2)法一：存在点),0,4(P满足条件。证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，设弦所在的直线方程为：4kyx代入xy2得01642kyykyy421，1621yy,OBOAkk116161644212222112211yyyyyyxyxyOBOA,故以AB为直径的圆都过原点............10分法二：若存在这样的点P满足条件，设),(),,(2211yxEyxD.则有02121yyxx得,1621yy又),,(11ymxPD),,(22ymxPE由D、P、E三点共线可得0))(4(),(),(21122211yymyymxyymx当21yy时，,4m此时),0,4(P可验证当)0,4(P且21yy时也符合条件，所以存在点)0,4(P满足条件.设弦AB的中点为),(yxM则)(2121xxx，)(2121yyy848)4(8)(442212121kkkyykkykyxx∴弦AB的中点M的轨迹方程为：kykx2422，消去k得.822xy4/94、如图（6），设点)0,(1cF、)0,(2cF分别是椭圆)1(1:222ayaxC的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且12PFPFuuuruuur最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线12,ll均与椭圆C相切，且12//ll，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到12,ll的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设),(yxP，则有),(1ycxPF，),(2ycxPF-------------1分aaxcxaacyxPFPF,,11222222221-----------------2分由12PFPFuuuruuur最小值为0得210122acc，-------------------3分∴椭圆C的方程为1222yx．---------------------------------------------4分（2）①当直线12,ll斜率存在时，设其方程为,ykxmykxn--------------------5分把1l的方程代入椭圆方程得222(12)4220kxmkxm∵直线1l与椭圆C相切，∴2222164(12)(22)0kmkm，化简得2212mk同理，2212nk------------------------------------8分∴22mn，若mn，则12,ll重合，不合题意，∴mn-----------------------9分设在x轴上存在点(,0)Bt，点B到直线12,ll的距离之积为1，则22||||111ktmktmkk，即2222||1ktmk，--------------------------------------10分把2212km代入并去绝对值整理，22(3)2kt或者22(1)0kt前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的kR恒成立则210t，解得1t；----------------------------------------------------------------------12分②当直线12,ll斜率不存在时，其方程为2x和2x，---------------------------13分定点(1,0)到直线12,ll的距离之积为(21)(21)1；定点(1,0)到直线12,ll的距离之积为(21)(21)1；综上所述，满足题意的定点B为(1,0)或(1,0)--------------------------------------------14分5/95、已知椭圆C:22221xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F1,0、2F1,0，且经过定点31,2，00,xy为椭圆C上的动点，以点为圆心，2F为半径作圆．1求椭圆C的方程；2若圆与y轴有两个不同交点，求点横坐标0x的取值范围；3是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由．解：1由椭圆定义得122PFPFa，………………………………………1分即222233532111142222a，………………………2分∴2a，又1c，∴2223bac.………………………………………3分故椭圆C的方程为22143xy…………………………………………………4分2圆心00(,)Mxy到y轴距离0dx，圆M的半径22001rxy，若圆M与y轴有两个不同交点，则有rd，即220001xyx，化简得200210yx.…………………………………………………6分点M在椭圆C上，∴2200334yx，代入以上不等式得：20038160xx，解得：0443x.………………………………………8分又022x，∴0423x，即点M横坐标的取值范围是4[2,)3.……9分3存在定圆22:116Nxy与圆M恒相切，其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点1F，半径为椭圆C的长轴长4.……………………12分∵由椭圆定义知，1224MFMFa，即124MFMF，∴圆N与圆M恒内切.……………………………………………………………14分6/96、已知椭圆1C的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F，2F20,，点(2,3)A在椭圆1C上，过点A的直线L与抛物线22:4Cxy交于BC,两点，抛物线2C在点BC,处的切线分别为12ll,，且1l与2l交于点P.(1)求椭圆1C的方程；(2)是否存在满足1212PFPFAFAF的点P?若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）;若不存在，说明理由.（1）椭圆1C的方程为2211612xy.………3分(2)解法1：设点)41,(211xxB,)41,(222xxC，则))(41,(212212xxxxBC，)413,2(211xxBA，∵CBA,,三点共线,（∴BCBA//.……4分∴222211211113244xxxxxx,化简得：1212212xxxx().①……5分由24xy,即214yx,得y12x.……6分∴抛物线2C在点B处的切线1l的方程为)(2411121xxxxy，即211412xxxy.②同理，抛物线2C在点C处的切线2l的方程为222412xxxy.③……………8分设点),(yxP，由②③得：211412xxx222412xxx，而21xx，则)(2121xxx.………9分代入②得2141xxy，则212xxx，214xxy代入①得1244yx，即点P的轨迹方程为3xy.