解答题--点睛立体几何模板

鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-1-立体几何——必考点复习提纲（理科）难易指数：★★★所占分值：12分试题类别：每年必考常规题型：√证平行√解题思路：首选常规法，高频使用构造平行四边形和三中位线定理，注意答题的格式与标准书写；常规法证不出来的时候，用空间向量的方法（向量共线）。【13年安徽·理·第一问】【13年浙江·理·第一问】【13年江苏·理·第一问】【13年上海·理·第一问】【13年湖北·理·第一问】【13年山东·理·第一问】【13年新课标II·理·第一问】√证垂直√解题思路：首选常规法，高频使用线面垂直判定定理及性质定理、三垂线定理、勾股定理，注意答题的格式与标准书写；常规法证不出来的时候，用空间向量的方法（向量数量积为零）。【13年江苏·理·第二问】【13年广东·理·第一问】【13年天津·理·第一问】【13年新课标I·理·第一问】【13年陕西·理·第一问】【13年江西·理·第一问】【13年四川·理·第一问】【13年大纲版·理·第一问】【13年湖南·理·第一问】【13年福建·理·第一问】【13年北京·理·第一问】鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-2-√求角度，求距离，或求体积√1、求角度有三种：线线角，线面角和二面角解题思路：（1）线线角（0，2]：常规法：是将其中一条直线平移至另一条直线所在平面与另一条直线相交，所成角即为所求；向量法：用公式求两条异面直线所在向量的夹角。【13年浙江·理·第二问】【13年江苏·理·第一问】（2）线面角（0，2]：常规法：是过目标直线上任意一点做目标平面的垂线，在目标直线、直线在平面上的射影和垂线所成的三角形中，解直角三角形，目标直线与其射影即为所求角。向量法：目标直线所在向量与目标平面的法向量所成角的余角即为所求。【13年新课标I·理·第二问】【13年湖南·理·第二问】（3）二面角（0，π）：常规法：主要有三垂线定理，定义法和公式法三种，核心考点是找到二面角的平面角；向量法：主要是建系，两个目标平面的法向量的夹角（或其补角）即为所求。考试首选向量法【13年辽宁·理·第二问】【13年重庆·理·第二问】【13年广东·理·第二问】【13年天津·理·第二问】【13年陕西·理·第二问】【13年江西·理·第二问】【13年四川·理·第二问】【13年江苏·理·第二问】【13年大纲版·理·第二问】【13年山东·理·第二问】【13年新课标II·理·第二问】【13年北京·理·第二问】√解题思路：（空间向量法）√（1）建系：尽可能让参与计算的点落在轴线和轴面上，坐标系可以任意指向（2）标明点坐标：不能表明的可以待定系数，列向量方程求解（3）表示向量（4）求法向向量（5）用公式求角鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-3-2、求距离：一是直接找垂线段，二是用向量法求距离，三是通过等体积间接来求。解题思路：如果是在第一个问号中求距离，一定是直接找垂线段求，如果是大题的第二个问求距离，可选择空间向量求体积公式或等体积法求距离。空间向量的方法为：利用过已知点与目标平面相交的直线所在向量与目标平面的法向量的关系求出距离【13年上海·理·第二问】3、求体积：解题思路：求体积一般三种思路：1.棱锥体积找底面，求高；2.四面体转换顶点；3.不规则多面体利用割补法变成规则多面体求．【13年上海春·理】意外现象：1.轨迹问题或判断点的位置：主要是直接利用定义，判断符合所求的点的集合。【09年全国·理·第一问】【09年宁夏海南·理·第三问】【09年四川·理·第二问】2.立体几何中的参数问题：将参数当成已知进行求解，利用位置关系求参数值时，首选特殊位置【09年湖北·理·第二问】鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-4-※辽宁点睛※【2013年辽宁数学（理）】如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:PACPBC平面平面；(II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角，的余弦值【2012高考真题辽宁理18】如图，直三棱柱-'''ABCABC，=90BAC，=='ABACAA，点,MN分别为'AB和''BC的中点（1）证明：//''MNAACC平面；（2）若二面角'--AMNC为直二面角，求的值鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-5-【2011高考真题辽宁理18】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD。（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值。【2010高考真题辽宁理19】已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-6-【2009高考真题辽宁理18】如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m※新课改地区点睛※【2013年高考真题上海春理19】如图,在正三棱锥111ABCABC中,16AA,异面直线1BC与1AA所成角的大小为6,求该三棱柱的体积.B1A1C1ACB鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-7-【2013年高考真题上海理19题】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.D1C1B1A1DCBA【2013年高考真题天津理19】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长.鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-8-【2013年高考真题江苏卷】本小题满分10分.如图,在直三棱柱111ABCABC中,ACAB,2ACAB,41AA,点D是BC的中点(1)求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值(2)求平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值.【2009宁夏海南卷理】如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-9-【2009年高考真题四川理】如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF（I）求证：EFBCE平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBDA的大小。【2009年重庆卷理】如题（19）图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，,22CSDSCSAD；E为BS的中点，2,3CEAS．求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角ECDA的大小．w鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-10-【2009年高考真题浙江理19】在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，2ACBCBDAE，M是AB的中点。（Ⅰ）求证：CMEM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；※只要作不死，就往死里作※鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-11-参考答案：※辽宁点睛※1、鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-12-2、（1）连结','ABAC，由已知=90,=BACABAC三棱柱-'''ABCABC为直三棱柱，所以M为'AB中点.又因为N为''BC中点所以//'MNAC，又MN平面''AACC'AC平面''AACC，因此//''MNAACC平面……6分（2）以A为坐标原点，分别以直线,,'ABACAA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系-Oxyz，如图所示设'=1,AA则==ABAC，于是0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1ABCABC，所以1,0,,,,12222MN，设111=,,mxyz是平面'AMN的法向量，由'=0,=0mAMmMN得11111-=0221+=022xzyz，可取=1,-1,m设222=,,nxyz是平面MNC的法向量，由=0,=0nNCnMN得22222-+-=0221+=022xyzyz，可取=-3,-1,n因为'--AMNC为直二面角，所以2=0,-3+-1-1+=0mn即，解得=2……12分3、解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQDCPQ所以0,0.PQDQPQDC即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-13-又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.…………6分（II）依题意有B（1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CBBP设(,,)nxyz是平面PBC的法向量，则0,0,20.0,nCBxxyznBP即因此可取(0,1,2).n设m是平面PBQ的法向量，则0,0.mBPmPQ可取15(1,1,1).cos,.5mmn所以故二面角Q—BP—C的余弦值为15.5………………12分4、证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）.……4分（Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CMSN,因为110022CMSN，所以CM⊥SN……6分（Ⅱ）1(,1,0)2NC,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，鸿文教育数学教研组—点睛押题没有不透风的墙只有不敢撞的墙。-14-则10,2210.2xyzxxy令，得a=(2,1,-2).……9分因为1122cos,2232aSN所以SN与片面CMN所成角为45°。……12分5、2、【答案】：（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=2.因为平面ABCD⊥平面DCED，所以MG⊥平面DCEF，可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=6，所以sin∠MNG=36为MN与平面DCEF所成角的正弦值……6分解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得