计算机控制系统第2章(第1次课概念及Z变换)

计算机控制系统余张国13520821796，[e-mail]北京理工大学机电学院智能机器人研究所控制系统设计流程被控对象控制器执行机构被控对象检测与变换给定值被控参数控制框图建模被控对象nnss2)(G22nkkkmkkkzazb101)z(GDucxybuAxx控制系统设计流程被控对象控制器执行机构被控对象检测与变换给定值被控参数控制框图建模被控对象nnss2)(G22nkkkmkkkzazb101)z(GDucxybuAxx确定被控参数确定控制目标给定控制指标建立对象/执行机构等的数学模型确定系统结构配置、选择执行机构分析系统性能，优化系统参数实现控制系统设计控制器控制系统设计流程“数字”控制器设计与实现•连续控制系统的分析、设计在“自动控制原理”课程中有所涉及（传递函数，时域/频域分析，系统校正）。•本课程：数字控制器设计与实现D(s)G(s)R(s)Y(s)E(s)U(s)例如，得到超前控制器：CR1R2CR1R2R2电路实现电路+计算机+软件第2章数字控制器的直接设计方法内容•离散系统信号的变换(预备知识)•Z变换及Z反变换(预备知识)•数字控制器的模拟化设计（D(s)→D(z)）•数字控制器的离散化设计–离散化设计的方法与步骤–最少拍系统设计–大林算法•数字控制器D(z)的实现模拟设计法数字控制器设计方法离散设计法状态空间设计法模拟设计法设计校正装置传递函数D(s)数字控制器D(z)离散化离散设计法又称直接数字控制设计法基础：Z传递函数根据：采样理论&离散方法利用：计算机控制优点：对于采样周期长的系统，其控制规律和算法更具有一般意义，可取得较高的控制指标状态空间设计法状态反馈+计算机辅助设计适用：多入多出(MIMO)控制系统优点：控制性能更完善2.1离散系统的信号变换A/D•采样采样周期的选择，Shannon定理•量化•编码D/A•解码•保持零阶保持器传递函数：教材p.12预备知识-3种重要的工程变换变换的目的：在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段。三种重要的工程变换及其贡献（1）傅氏变换（FourierTransform）把研究问题的方向从时间域→频率域（2）拉氏变换（LaplaceTransform）把求解连续动态过程的微分方程→代数方程（3）Z变换（ZTransform）把求解离散动态过程的差分方程→代数方程dtetfFtj)()(deFtftj)(21)(若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件0)()(dtetfsFst傅氏变换拉氏变换Z变换（离散拉氏变换）预备知识-3种重要的工程变换T为采样周期预备知识--Z变换Z变换是一种运算函数，在离散控制系统中所起的作用，类似于连续系统中的拉氏变换Z变换是离散系统的重要方法之一，它可以分析线性离散系统的稳定性，暂态特性和稳态控制精度，还可以用来设计离散系统和解差分方程。Z变换的求法Z变换的3种求法•级数求和法（按定义求解，直接法）•部分分式法首先求f(t)的拉氏变换F(s)将F(s)展开成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数（查表）求出每一项的Z变换•留数计算法Z变换——级数求和法将离散时间函数写成展开形式Z变换后，*0()()()(0)()()()(2)(2)()()kftfkTtkTftfTtTfTtTfkTtkT12()(0)()(2)()kFzffTzfTzfkTz例2-1求单位阶跃函数f(t)=1(t)的Z变换解：因为f(t)=1(t)在任何采样时刻上的值均为1，即f(kT)=1；k=0，1，2…..将上式代入级数展开式中，得将上式两端同时乘12()1kFzzzz1z1123(1)()kzFzzzzz上式两边同时相减得即1(1)()1zFz11()11zFzzz例2-2求下式衰减指数的Z变换0，解：指数函数在各采样时刻上的采样值为根据展开式得把上式可以看成等比级数，若满足条件即成立，则可写成下列闭式，即()ft,0tet0tTe21,,,TTkTeee122()1TTkTkFzezezez11Tez1Tez11()1TTzFzezzeZ变换——部分分式法引出：通过上两例知，需要将无穷级数写成闭式，很难做到。设连续时间函数f(t)的拉氏变换F(s)为有理函数，具体形式如下：式中M(s)和N(s)分别是关于复变量s的m次和n次多项式。()()()MsFsNs•将F(s)展开成部分分式的形式为式中拉氏变换的极点常系数由拉氏变换知，与项对应的时间函数为，而衰减指数函数的Z变换由上例子求出11()miiiFsAssisiA1iiAssistiAe[]iistiistzAeAzeZZ变换——部分分式法因此，连续函数的f(t)的Z变换可以由有理函数F(s)求出1()inistizFzAzeZ变换——部分分式法•部分分式法首先求f(t)的拉氏变换F(s)将F(s)展开成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数（查表）求出每一项的Z变换例2-3求下面传递函数的Z变换解：先将上式展开成部分分式，然后再分别求出对应项的Z变换。即与对应的时间函数是1(t),对应的Z变换是而对应的时间函数是，相应的Z变换是1()(1)Fsss111()(1)1Fsssss1s1zz11steTzze因此，11[()]()[][]1(1)1(1)()TTTZftFzsszzzzzzzzzeZZZ变换求法—留数法若已知连续时间函数f(t)的拉氏变换式F(s)及其全部极点(i=1,2,…,n),则f(t)的Z变换：为采样周期的重数，为为全部极点数，式中，TipslniTippsnisTlillniiezzsFpsdsdlezzpFsZF1111])()[()!1(1])([Re)(ResZ变换求法—留数法求x(t)=t的Z变换，或{s2[1/s2]z/(z-esT)}|s=0[z/(z-esT)]|s=0先以s为变量求微分，最后才令s=00,2,11plnZ变换求法—留数法s=-as=-bZ变换表Z变换的基本定理（1）线性定理设a,b为任意常数，和的Z变换分别为和，则有1()ft2()ft1()Fz2()Fz121212[()()][()][()]()()ZaftbftaftbftaFzbFzZZ（2）滞后定理设连续时间函数在t0时，f(t)=0,且具有Z变换则滞后定理表示如下：代表延迟环节[()]()ftFzZ[()]()nftnTzFzZnzZ变换的基本定理（3）超前定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则f(t+nT)的Z变换为滞后定理和超前定理统称为平移定理。当n=1时，有101[()][()()][()](0)()((1))nnkknnnftnTzFzfkTzzFzzfzfTzfnTZ1[(1)]()(0)[(1)]()ZfkTzFzzfZfkTzFzZ变换的基本定理（4）初值定理如果连续时间函数f(t)的Z变换为F(z),并且极限值存在，则f(t)的初值f(0)为f(0)=式中，当t0时，f(t)=00lim()lim()tzftFzZ变换的基本定理lim()zFz（5）终值定理若f(t)的Z变换为F(z),并且F(z)所表示的离散系统是稳定的，即（z-1)F(z)的全部极点都位于Z平面单位元之内，则f(t)的终值定理为111lim()lim()lim[(1)()]lim[(1)()]tkzzftfkTzFzzFzZ变换的基本定理Z反变换将脉冲序列通过变量代换，变换成F(z)称为Z变换。反之，从Z变换F(z)求出相对应的脉冲序列或数值序列f(kT),称之为Z反变换，或Z逆变换。表示为：*()ftsTze*()ft*11()=[()]()=[()]ftFzfkTFzZZZ变换脉冲序列数值序列f(kT)*()ft时间函数f(t)Z反变换Z反变换—部分分式法适用条件：有理分式设假设上式中的所有极点互异，即分母多项式中无重根时，可将F(z)式中的分母分解因式，并求出F(z)的极点10111011(),()mmmmnnnnbzbzbzbFzmnazazaza式中，系数由下式决定：10110121212(),()[()()()]()mmmmmininbzbzbzbFzmnazzzzzzAAAAzzzzzzzzziA()[()]iiizzFzAzzz例2-4已知求及当k=0,1,2,3,4时的f(kT)值。解：用部分分式展开法，有其中待定系数决定如下：2()10(1)(2)12iAAFzzzzzz()[()]iiizzFzAzzz10()(1)(2)zFzzz*()ft由此解出由Z变换表差得脉冲数值序列为脉冲序列1210,10AA11[]1;[]212kzzzzZZ()1010*210(12)kkfkT*0()10(12)()kkfttkT根据数值序列f(Kt)可求出各采样时刻k上的数值：f(0)=0;f(T)=10;f(2T)=30;f(3T)=70;f(4T)=150Z反变换—长除法（幂级数展开法）适用：当Z变换式不能写成简单形式，或者要求以数值序列f(kT)表示时具体方法：如F(z)是有理函数的形式给出，则可以通过用分母去除分子，得到幂级数的展开式，然后再逐项求Z反变换式。如果F(z)被展开成的收敛幂级数，即012()()(0)()(2)()kkkFzfkTzffTzfTzfkTzkz则f(kT)的值可以通过比较系数的方法确定。如Z变换函数F(z)可以表示为两个多项式之比，可写成一般式一般情况下，，用分母除分子，并将商按的升幂排列，得12101211210121()mmmmnnnnbbzbzbzbzFzaazazazaznm12101210()kkkkkkkFzcczczczczcz由z变换定义知道，上式中的系数就是连续时间函数f(t)在采样时刻的数值序列f(kT)。kzkc例2-5设：求F(z)的Z反变换，并得出k=0,1,2,3时的f(kT)值。解：首先按的升幂排出F(z)的分子与分母32322()251zzzFzzzz1212312()125zzFzzzz1z应用长除法123123121441312512zzzzzzzz123125zzz12344zzz123448204zzzz2344214zzz234548204zzzz34513244zzz345613266513zzzz456506113zzz该级数的前几项可以写成如下形式:上式的Z反变换为可以求得123()14413Fzzzz*0[()]()()()()4()4(2)13(3)kFsftfkTtkTttTtTtTZ(0)1;(1)4