足球排队名

足球队排名问题摘要本文利用层次分析法和竞赛图法建立了不同的解决排名问题的数学模型。在层次分析法中，我们根据各队成绩推算出他们的实力对比情况，并据此构建了判断矩阵，并判断其可约性，在不可约的情况下进行排名；构造判断矩阵的辅助矩阵,通过计算其主特征根、主特征向量，得出排名情况；文中可以看出此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上小的波动不会对排名顺序造成大的变动，并证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。在竞赛图法中我们参考了国际足联联赛积分制度的规定胜一场积3分，平一场积1分负一场积0分的积分制度来考虑两队的水平对比，认为净胜球对球队的实力影响小于胜负平局对实力影响。这两个模型较好的解决了足球队的排名问题，而且经过简单修改可以应用于很多对抗型比赛的排名关键词：层次分析法图论法可约性一致性稳定性2.问题分析排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队的真实实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的。为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所有场比赛。（2）稳定性:成绩表中微小的变动不会对排名造成巨大的影响，即球队发挥水平的较小波动性不会对排名结果产生大的影响。（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的队不幸遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平。为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,避免“运气”起重要作用，此要求是必须的。（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。（5）能够判断成绩表的可约性。（6）容忍不一致现象；比如说a胜b,b胜c,c平a,称这种情况为数据不一致，如果不一致的情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低,应该考虑放弃比赛成绩。（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。为了达到这些要求，我们必须要充分利用数据，用最有效的方法处理好数据残缺、不一致性、偶然性等问题，使得排名结果更合理更有说服力。3.问题假设假设Ⅰ参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。假设Ⅱ在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相对立的正态分布。假设Ⅲ设净胜球对实力的影响小于胜负影响，即优先比较胜负关系。若胜负场次相同即认为实力相差不大，不能说明两队实力情况。4.符号说明符号其定义和说明ija第i队对第j队的表现实力ijmiT胜jT平均每场净胜球数igiT的攻防能力即进球总数与失球总数的比值A判断矩阵A判断矩阵的辅助矩阵maxA的主特征值A的主特征向量B用于构造B得辅助矩阵B用于构造邻接矩阵的辅助矩阵B邻接矩阵S参考得分S参考得分向量5.模型的建立与求解方法一：层次分析法第一步：根据比赛成绩表构造判断矩阵A：i从1到n,j从1到n的循环，1）若iT与jT互胜场次相等,则1净胜球=0时令1ijjiaa；跳出作下一步循环；2iT净胜球多时以iT净胜jT一场作后续处理。2）若iT净胜jTk场且0k,则2,14;19,4.ijkkbk2ijimT胜jT平均每场净胜球数；1,2;0,02;1,0.ijijijijmdmm3,1/ijijijjiijabdaa．3）若iT与jT无比赛成绩,则：0ijjiaa；4）根据上述规则建立判断矩阵A：111116225100242111121211200221221223212002111111111100622225222111112100001222211122100000022341250014642211121200112124211112002142252611112200112224411111000010122222111000020121222第二步：检测A的可约性根据矩阵连通性判定准则：对于矩阵11mkijmmkCCA，如果矩阵C中的元素全部为非零元素，则矩阵A为连通矩阵；否则如果矩阵S中存在1tt个零元素，则矩阵A为非连通矩阵[1]。通过matlab编程计算得：显然矩阵C中没有为0的项，所以矩阵A没有可约性。第三步：构造辅助矩阵Ai从1到n,j从1到n循环,0,0ijijiijijjaagaagig为iT的攻防能力即进球总数与失球总数的比值，jg为jT的攻防能力，在数据量比较大的情况下，ig与jg的比值可以较好的反映iT与jT的实力对比，这是一种较好的补残方法。按此规则可构造一个正互反矩阵——辅助矩阵A：1112369116225124283211131311212112226811421221223212251011111111139162222522241611127912571121122213013136521113121932211223202330413020412514642227311311212211212942111331122142252122616530112225719411122486541111111123131432222232810164111212169132193222第四步：计算A的主特征根max和主特征向量通过matlab编程（见附录三）计算得：max13.2701；0.33130.25860.34620.09530.14540.13570.67020.22020.25340.21560.12500.1759化为标准向量：0.11140.08700.11650.03210.04890.04560.22540.07410.08520.07250.04200.0592排序得：0.22540.11650.11140.08700.08520.07410.07250.05920.04890.04560.04200.0321第五步：按各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次排名为：7T，3T,1T,2T,9T,8T,10T,12T,5T,6T,11T,4T第六步：检验矩阵A的一致性，判断排名结果的可靠性CI为A的一致性指标，max1nCIn。容易看出，当且仅当A为一致矩阵时0CI。CI的值越大，矩阵A的非一致性越严重。RI称为平均随机一致性指标，max1nRIn；随机一致性比率CICRRI，若0.1CR，则一致性较为满意。13.2701120.1155121CI，查表得：12n时1.54RI[2]，所以0.11550.0750.11.54CR，故一致性较好，数据的可信度很好，结果比较合理。方法二：竞赛图法第一步：根据问题的假设和比赛成绩表，我们按如下规则构造竞赛图：以n个参赛队1T,2T,3T,…,nT为竞赛图G的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。若iT胜jT的场次多，则以iT为尾jT为头，作边,ijTT；若iT胜jT的场次多，则建边,jiTT，若两队之间胜的场次相同，由于假设中净胜球因素小于胜负因素，则也不建边。若两队之间没有比赛则不建边。可约性的判断与层次分析法相同。根据建边情况，可按如下规则建立矩阵ijBb：（1）ij时0ijb；（2）ij时，若iT、jT建边,ijTT，则取1ijb，0jib；若iT、jT之间未建边，则ijb、jib不计数由此得矩阵B：1234567891011121234567891011120111100111010111000000000001000000110101111100010010101111100011000000100010TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT第二步：建立邻接矩阵考虑到足球比赛中的积分情况，以及有些没建边的两队若是因为平局所导致，所以对矩阵做如下改变：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；S为各队的总得分。由此得出矩阵B：123456789101112123456789101112011333113117100313113013130333111117000000010000103001050003306111303333321111100013190013030333161313010033151000000130100307TTTTTTTTTTTTSTTTTTTTTTTTT以B显示出的参考得分S与净胜球为参考对矩阵B进行补残得出邻接矩阵B123456789101112123456789101112010111011111000111011011110111011111000000000000000100000010000110000010111111011111000111000011000111010111010111010011000100000000000111000010TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT第三步：根据邻接矩阵B可得各队参考得分向量并排名97100231157714S考虑到一级和二级的得分向量，其由强到弱排名顺序为：7T，3T，1T,9T,10T,2T，8T，12T，6T，5T，11T，4T附录一：我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩：T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T10：12：22：03：11：00：10：21：01：1X1：01：03：11：32：14：01：1XX0：00：21：0说明：（1）12支球队依次记作1T，2T，…，12T。（2）符号X表示两队未曾比赛。（3）数字表示两队比赛的结果，如3T行与8T行交叉的数字表示3T与8T比赛了2场；3T与8T的进球数之比为0：1和3：1。附录二：判断矩阵A的可约性所用matlab的程序：a=[1,1,0.5,6,2,2,0.25,0.5,5,1,0,0;1,1,0.5,2,1,2,1,1,2,0.5,0,0;2,2,1,2,2,3,0.5,2,1,2,0,0;1/6,0.5,0.5,1,0.5,0.5,0.2,0.5,0.5,0.5,0,0;0.5,1,0.5,2,1,0.5,0,0,0,0,1,0.5;0.5,0.5,1/3,2,2,1,0,0,0,0,0,0;4,1,2,5,0,0,1,4,6,4,2,2;T22：00：01：12：11：10：02：00：2X0：12：01：10：01：10：0XX1：30：0T34：22：13：01：00：11：00：1X1：11：43：12：32：0XX0：0T42：30：10：52：10：10：1X2：31：30：01：1XXT50：11：00：1XXXXX1:21:1T6XXXXXXT71：02：13：13：12：0X2：03：03：00：01：02：2T80：11：13：10：0X1：21：02：00：1T93：0X1：01：01：00：0T10X1：02：0T111：1X1：21：1T12X2,1,0.5,2,0,0,0.25,1,0.5,1,2,1;0.2,0.5,1,2,0