距离的计算教案

§6距离的计算●三维目标1．知识与技能(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．2．过程与方法(1)通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．3．情感、态度与价值观学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”，体会向量法在研究空间问题中的作用．三、教学建议1．引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识．2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想．3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标．●教学流程设置情境引入课题――→探索空间距离的定义――→探索空间距离的计算公式――→应用通过例子，深化对空间距离的认识――→比较比较综合法的“难”，向量法的“易”――→尝试通过练习进行反馈矫正――→小结提炼思想方法：数形结合、化归转化，形成整体认识课标解读1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点)2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点)3.通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)点到直线的距离【问题导思】1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量PA→在s上的投影是什么？其几何意义是什么？【提示】向量PA→在s上的投影为PA→·s|s|.作AA′⊥l于A′，则投影PA→·s|s|的几何意义是有向线段PA′的数量．2．如何利用PA→在s上的投影求点A到直线l的距离？【提示】由勾股定理得，d＝PA2－PA′2.∴d＝|PA→|2－|PA→·s|s||2.利用向量求点A到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s；(2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离|PA→|；(4)计算PA→在向量s上的投影PA→·s0；(5)计算点A到直线l的距离d＝|PA→|2－|PA→·s0|2.点到平面的距离【问题导思】如图，已知向量n是平面π的法向量，点P在平面π内，点A是空间中一点，试用向量PA→在n上的投影表示点A到平面π的距离．【提示】d＝|PA→·n|n||.利用向量求点A到平面π的距离步骤：(1)找到平面π的法向量n；(2)在平面π内任取一点P；(3)计算PA→在向量n上的投影PA→·n0；(4)计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n0|.求点到直线的距离在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．【思路探究】建系⇒求D1、F、G坐标⇒GF→、GD1→的坐标⇒求GD1→在GF→上的投影⇒利用公式求解【自主解答】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有GF→＝(1，－1，－1)，GD1→＝(0，－2,1)，所以GF→·GD1→|GF→|＝2－13＝13，|GD1→|＝5，所以点D1到直线GF的距离d＝|GD1→|2－|GD1→·GF→|GF→||2＝5－13＝423.用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：1．点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点．2．直线l的方向向量可任意选取．3．点到直线的距离公式中s0是单位向量，在求得直线l的方向向量s后，要将其单位化．已知ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP→＝34AB→＋12AD→＋23AE→，则P到AB的距离为()A.56B．18112C.10306D．56【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则AP→＝34(1,0,0)＋12(0,1,0)＋23(0,0,1)＝(34，12，23)．又∵AB→＝(1,0,0)，∴AP→在AB→上的投影为AP→·AB→|AB→|＝34，∴点P到AB的距离为|AP→|2－|AP→·AB→|AB→||2＝56.【答案】A求点到平面的距离图2－6－1如图2－6－1直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝3，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．【思路探究】建坐标系确定向量A1B→的坐标形式找出平面A1BC的一个法向量为n代入d＝|A1B1→·n|n||求解【自主解答】如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，3)，B1(0,1，3)，C1(0,0，3)∴A1B→＝(－1,1，－3)，A1C→＝(－1,0，－3)，B1A1→＝(1，－1,0)．设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝0n·A1C→＝0⇒－x＋y－3z＝0－x－3z＝0⇒x＝－3y＝0z＝1即n＝(－3，0,1)，所以，点B1到平面A1BC的距离d＝|n·A1B1→||n|＝32.1．本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易．2．求点到平面的距离的步骤可简化为：(1)求平面的法向量；(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．图2－6－2如图2－6－2所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，求点A1到平面AD1C的距离．【解】以D为原点建立空间直角坐标系，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－1,1,0)，AD1→＝(－1,0,1)，设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y,1)，则n·AD1→＝0，n·AC→＝0，得－x＋y＝0，－x＋1＝0，则x＝1，y＝1，∴n＝(1,1,1)，∴d＝|AA1→·n||n|＝13＝33.求直线与平面的距离图2－6－3如图2－6－3所示，在已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求A1B1与平面ABE的距离．【思路探究】求A1B1与平面ABE的距离，因为直线A1B1平行于平面ABE，所以直线A1B1上任意一点到平面ABE的距离相等，所以A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，从而转化为点到平面的距离求解．【自主解答】如图所示，以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，3，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝3，∴B(1,23，0)，∴AB→＝(0,23，0)，BE→＝(－1，－3，1)．设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则由n·AB→＝0，n·BE→＝0得23y＝0，－x－3y＋z＝0，∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．∵直线A1B1∥平面ABE，∴直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离．∵AA1→＝(0,0,2)，∴A1B1到平面ABE的距离为|AA1→·n|n||＝22＝2.求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．【解】证明：(1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，FP→＝(－1,0,2)，FB→＝(1,2,0)，DE→＝(0,1,1)，∴DE→＝12FP→＋12FB→.∴DE→∥平面PFB．又∵D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB．(2)∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·FB→＝0，n·FP→＝0⇒x＋2y＝0，－x＋2z＝0，令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝(2，－1,1)，FD→＝(－1,0,0)．∴D到平面PFB的距离为d＝|FD→·n||n|＝26＝63.利用向量求点到平面的距离的常见错误在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，求点N到平面ACM的距离．【错因分析】(1)不知条件AC为直径的球面交PD于点M，交PC于N点如何使用．(2)不知道转化，求点N的坐标，增加了运算量．(3)求点到平面的距离公式d＝|PA→·n0|中n0是单位法向量而不是法向量．【防范措施】(1)认真分析图形性质；(2)进行合理转化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义．【正解】分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，∴AC→＝(2,4,0)，AM→＝(0,2,2)，设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥AC→，n⊥AM→，可得2x＋4y＝0，2y＋2z＝0，令z＝1，则n＝(2，－1,1)．由已知得，AN⊥NC，在Rt△PAC中，PA2＝PN·PC，所以PN＝83，则NC＝PC－PN＝103，NCPC＝59.所以所求距离为点P到平面ACM距离的59，又点P到平面ACM的距离为|AP→·nn|＝263.所以点N到平面ACM的距离为10627.空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离.1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.322B．22C.102D．2【解析】PA→＝(－2,0，－1)，|PA→|＝5，PA→·n|n|＝－12，则点P到直线l的距离d＝|PA→|2－|PA→·n|n||2＝5－12＝322.【答案】A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A.12B．24C.22D．32【解析】建立如图所示坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，O(12，12，1)，则DA1→＝(1,0,1)，A1O→＝(－12，12，0)，由题意知DA1→为平面ABC1D1的法向量，∴O到平面ABC1D1的距离为d＝|DA1→·A1O→||DA1→|＝122＝24.【答案】B3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则A1(4,0,3)，B1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，A1C1→＝(－4,6,0)，A1B→＝(0,6，－3)，BC1→＝(－4,0,3)，A1B1→＝(0,6,0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，由n·A1C1→＝0，n·A1B→＝0，解得n＝(1，23，43)．∴d＝|A1B1→·n||n|＝122929.【答案