圆轴扭转

第四章圆轴扭转§4-2受扭圆杆横截面上的内力§4-3受扭圆杆的应力和变形§4-1扭转的概念和实例§4-4圆杆受扭时的强度及刚度计算§4-1扭转的概念和实例一、实例一、实例传动轴传动轴二、扭转的概念受力特点：构件的两端受相反方向，作用面垂直于轴线的一对力偶的作用。（力偶的方向----轴向）变形特点：横截面发生相对的转动（绕轴转动）研究对象：等直杆、圆形截面杆或可近似为等直圆截面杆的构件。1、直接计算一.外力偶矩§4-2受扭圆杆横截面上的内力1、承受扭转的轴通常是用来传递功率的，若传输的功率为N千瓦，转速n转/分,则此轴传递的外力偶矩为：min)/()(9549).(rnKWNmNM6021000nMN2、按输入功率和转速计算NMNW1000每秒内做的功：NMnMMW602每秒内做的功还等于：min)/()(7024).(rnNmNM马力2、若传输的功率为N马力，转速n转/分,则此轴传递的外力偶矩为：mmmTmT1、内力：二、圆轴扭转内力：-----扭矩T截面法求内力0xm0mTmTx㈩eMT㈩eMT三、扭矩图：以横截面所在的轴的位置为横坐标，T的大小为纵坐标作出的图形-----扭矩图。2、符号规定：T沿截面的外法向为正mTmT意义直观地反映轴上任意位置横截面上的内力---扭矩的变化。x例题1图示一皮带传动轴，轮子A用皮带直接与原动机连接，轮子B和C与机床连接。已知轮子A传递的功率为60kW，轮子B传递34kW，轴的转速150r/min,略去轴承的摩擦力，试作出轴的扭矩图。解：1、外力偶矩mNnNm.6.381915060954995492mNnNm.4.216415034954995491mNnNm.2.165515026954995493m1m2m3ABCm1T1T2T1=0T2=m1=2164.4m1m2T3T4m1m2m3T3=m1-m2=-1655.2T3=m1-m2+m3=02、扭矩m1m2m3ABC112233442164.43819.61655.2m1m2m3xT-1655.2Nm+2164.4Nm3、作扭矩图m1m2m3ABC2164.43819.61655.24、若将轮A和轮B换一个位置，则最大扭矩会怎样m1m2m3ABCm2m1m3xT-1655.2Nm-3819.6Nm2164.43819.61655.2例题2xT-30KN.m+10KN.m+30KN.m30KN.m20KN.m40KN.m★讨论：1、完整的T～x图，包含坐标轴方向、比例尺、大小、单位、特征点的T值。2、T～x图是一条连续的曲线。3、在集中力偶作用的地方，扭矩图发生突变。4、突变的数值等于集中力偶的大小，突变的方向由集中力偶的方向决定。5、以外法向的力偶产生的扭矩为正，负法向的力偶产生的扭矩为负。★扭矩图的简便计算∶1、自左到右的方向进行；M2M12、遇到图示外力偶矩，内力扭矩T的增量为正；3、遇到图示外力偶矩，内力扭矩T的增量为负；4、扭矩图上的突变值等于外力偶矩。从右开始，向右方向的外力偶矩产生正的扭矩。从左开始，向左方向的外力偶矩产生正的扭矩；20KN.m10KN.m10KN.m20KN.m例题3xT+20（KN.m）+10+20例题4xT（KN.m）+20+4020KN.m40KN.m20KN.m40KN.m20KN.m例题5xT+M+3M+MaaM2Mm=2M/a§4-4圆轴扭转时的应力★分析思路：应力内力分布一、实验观察1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线abcdabcd静力关系几何关系物理关系变形几何规律实验观察3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。abcda′b′c′d′a′b′c′d′MM3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。4）观察变形abcd→a′b′c′d′提出假设：ac、bd代表的是两个横截面横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。平面假设成立!1）平面假设成立2）轴向无伸缩3）纵向线变形后仍为平行直线4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度观察到的变形：abcda′b′c′d′dxbdacRxAdxρxMMdxx二、变形几何规律dA′dAA′b′d′取一小段dx圆轴研究之，如上图示外表面上：b→b′dxdR内部A：A→A′dxddxbdacRxAdxρxdA′dAA′b′d′★同一截面上（选择了参考面后），相同dxd---单位长度上横截面的相对扭转角dxd★变形几何规律三、物理关系dxdG当时，G（剪切胡克定律）剪应力分布规律：3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动，横截面上点沿圆周线位移，与半径线垂直，且顺着T的方向。1）同一截面上，与成正比，即沿半径线线性分布2）同一截面上，在同一圆周上有相同的大小。TτTdxbdacRxdAA′b′d′xdATD五、静力关系横截面上内力系合成的结果dATT内力合力TAdAdxdG2令dAIP2横截面对形心的极惯性矩dAdxdGdATA仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。PIdxdGTPIGTdxdPITdxdGtPWTIRTmaxRIWPt抗扭截面系数，与截面的大小、形状、尺寸等有关。六、公式的适用范围1、圆轴扭转2、弹性范围内pmax七、IP、Wt的计算dD1、实心圆轴RPddAI02223161DWt4432121DR2、空心圆轴)1(321)(3214444DdD)(2124422rRddAIRrP)1(16143DWtDd例题5实心圆轴的直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩m=14KN.m作用，设材料的剪变模量G=80×109N/m，求：1）最大剪应力τmax；2）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值及方向;3）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为d/D=1/2的空心圆轴，其最大剪应力τmax。mmABCABC解：1）T=m=14KN.m)(103.711611014633maxPaDWTtMPaA3.71MPab3.71MPaMPac7.353.71212)3)A相同，空心率d/D=1/2222100dD)(10031mmd)(10032mmD693.0)1(1611614313maxmaxDDWWtt)1(16143DWt)(4.493.71693.0maxMPa最大应力下降了30.7%！八、横截面上的剪应力分布TτTτn九、圆轴扭转时斜截面上的应力TTndxdyxn0F0cossinsincosdAdAdA2sin0F2cosmax45omin45o斜截面上的正应力和剪应力为:,2sin2cos1、,0当,0max讨论：2、,45当,min03、,45当,max04、,90当,0§4-3圆轴扭转时的变形一、相对扭转角：两个一定距离的截面在外力偶作用下产生的扭转变形，即相对转过的角度。用表示。PIGTdxddxGITlP1）T不同分段积分2）材料不同，分段积分3）截面不同，分段积分4）若在某一范围内T一样，截面一样，材料相同，则PGIlTPGI----材料的抗扭刚度二、单位长度上的相对扭转角-----相对变形PGITdxd§4-4圆轴扭转时的强度与刚度计算maxmaxPWTmax2、设计截面尺寸：max,TWt3、设计载荷：;tWTmax)(maxTfP一、强度设计准则：1、校核强度：其中[]称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：二、扭转刚度条件：其中[]称为许用单位长度相对扭转角。][PGITmax2、设计截面尺寸：maxGTIP3、设计载荷：maxGITP1、校核刚度：★可进行如下三种刚度计算：例题6功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。xT+1.55KN.m解：1、求外力偶矩nNM95492、作扭矩图3=1351=702=75MM3、计算并校核剪应力强度33max07.014.31055.116tWTmKN.55.1604.151509549满足强度要求。MPa23][例题7已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,G=80GPa,[τ]=80MPa,1)试求τmax的值，并作强度校核；2）若[]=1.5o/m,试校其刚度；3）轴的总变形。70m1m25075050xT-1200N.m-3000N.m解：1、求内力，作扭矩图][)(2.36)1075(14.316300033111maxMPaWTP][)(9.48)1050(14.316120033222maxMPaWTP轴的强度足够!2、强度校核3、刚度校核111PGITdxd180)1075(14.332110803000439]'[)/(069.0mO]'[)/(402.1222mGITdxdOP轴的刚度足够!)(589.0o4、总变形2211ll331050402.110750069.0例题8一圆轴以300转/分的转速传递331KW的功率，若[]=40×106MPa，[]=0.5°/m，G=80GPa，试设计轴的直径。解：1、求外力偶矩).(54.1030033195499549mKNnNM2、内力-----扭矩TmKNMT.54.103、由强度条件：][1054.101633maxdWTt)(1002.112md4、由刚度条件：18010801054.1032933dGITp)(1037.92md取d=12cm5.0][*4、由刚度条件：180108012.01054.1032933pGIT由强度设计，取d=12cm)/(045.0m5.0][取d=12cm符合刚度条件本章小结一、基本概念：圆轴扭转与非圆轴扭转。dtd二、基本方法：1、T的作法2、求应力的“三关系”法三、基本公式：1、应力tWTITmax2、变形PlPGITdxdGITdl扭矩、纯剪切、单位长度相对扭转角相对扭转角剪应力互等定理IP与Wt、3、强度条件][max4、刚度条件][5、截面的几何性质42321DdAIP3161DWt实心圆轴)1(321)(3214444DdDIP)1(16143DWPDd空心圆轴四、共性分析四、共性分析应力内力截面的几何性质变形内力﹒长度刚度五、强度、刚度计算中的问题▼公式的适用范围▼分段计算▼强度、刚度同时考虑tWTmaxPGIlT六、关于杆件扭转时的合理截面空心圆截面，实心圆截面。TTτ采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；②从截面的几何性质