计量方法与误差理论CH5-误差部分.

第五章测试数据处理一个简单的数学问题:9.23yx9.02yx9.132yx①③②由①、②3517067yx代入③：01419.1351370672第五章测试数据处理一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）uFCCCCuFCCuFCuFC1035.04111.02056.02071.021212121电容最可信赖的值是多少？求标准米尺的温度膨胀系数：一个实例)1(20ttLL为确定α、β，需要进行2组测量！实际为提高测量精度，往往增加测量组数n，利用抵偿性减小随机误差的影响。根据任意2个方程求得的解代入其它方程不能完全满足。希望找到一组最佳的解，使与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理解为误差最小的解。)1(20ttLL这就是最小二乘法的出发点！第1节最小二乘法的数据处理一、最小二乘法的基本原理测量方程：),...,,(),...,,(212111mnnmxxxfyxxxfyxi为待求解的参数,yi为直接测量量的估计值，nm第1节最小二乘法的数据处理误差（残差）方程：),...,,(),...,,(2121111mnnnmxxxflvxxxflv参数的最佳估计值应在残差平方和为最小的条件下求出，即。也就是说，另取任一组其它解，其都将大于。min12niiv2'ivniiv12有误差的实际测量值等精度测量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小不等精度测量的最小二乘原理：niiinnvpvpvpvp122222211最小最小二乘原理测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。最小二乘原理第1节最小二乘法的数据处理二、最小二乘法的基本运算1、等精度线性函数运算)()(2211121211111mnmnnnnmmxaxaxalvxaxaxalv误差方程：m个参数n个方程（nm）待求解参数第1节最小二乘法的数据处理矩阵形式：（L、A为测量数据）XALV待求解参数第1节最小二乘法的数据处理min)()'(min'XALXALVV或最小二乘法要求：利用微分求极值：n个方程转化成m个新的方程，“正规方程组”解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解第1节最小二乘法的数据处理0][1212212112xvxvxvxvn先看：第1节最小二乘法的数据处理0]}[][][]{[2][1122111112laxaaxaaxaaxvmm将以上各式相加：nnnmnmmmnnnnlalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1221111112211111212221121121112121111111][][][][高斯符号，对应列相加列号第1节最小二乘法的数据处理][][][][][][][][][][][22112222211211221111laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaammmmmmmmmm得正规方程：对称分布的各系数彼此两两相等如何求解X？主对角线分布着平方项系数第1节最小二乘法的数据处理0}][][]{[][2211mmrrrrxaaxaaxaala对第r个方程：第1节最小二乘法的数据处理即：0)}({)}({)}({)()()(221122112222121221212111112211222222212111121211112211nnrrrmnmnnnnrmmrmmrmnmnrmmrmmrnnrrrnnrrrnnrrrvavavaxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaalalala第1节最小二乘法的数据处理故：正规方程可写成000221122221121221111nnmmmnnnnvavavavavavavavava0'VA矩阵形式：第1节最小二乘法的数据处理XALV0'VA0)(XALAVALAXAALAAAX1)(第1节最小二乘法的数据处理第1节最小二乘法的数据处理第1节最小二乘法的数据处理））℃yxmmy℃mmxmmxxxxx(/0000183.0/)(97.1999/(03654.0)(97.19993.340201565017003.1200617060220212121第1节最小二乘法的数据处理按矩阵形式解算，则有6111ttA0012.0034.0034.013.11C56501701706'1621616iiitttnAAC3.34020103.1200611'61616161iiiltlllttLA03654.097.1999'1LACX第1节最小二乘法的数据处理2、不等精度线性函数运算npppPPVVPV000000min'min][212或原理：)1(2iip测量值li的方差第1节最小二乘法的数据处理000][][][][][][][][][][][][22211122222112112212111122112222211211221111nnmnmmnnnnnnmmmmmmmmmmvapvapvapvapvapvapvapvapvaplpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapa或0'PVA即第1节最小二乘法的数据处理PLAPAAXXPAAPLAXALPAXALV')'(''0)('1故：由矩阵解：第1节最小二乘法的数据处理如果在不等精度误差方程的两端同乘以ip第1节最小二乘法的数据处理3、（等精度、不等精度）非线性函数运算第1节最小二乘法的数据处理第1节最小二乘法的数据处理第1节最小二乘法的数据处理'il第1节最小二乘法的数据处理最终的近似线性方程组：再按等精度、不等精度方式处理第1节最小二乘法的数据处理4、最小二乘原理与算数平均值的关系xlvxlvxlvnn2211第1节最小二乘法的数据处理正规方程为：nnnnnnnnnppplplplpxlaplaplapxaapaapaaplpaxapa212211122121111112121211111111)()(][][即第1节最小二乘法的数据处理三、最小二乘法的精度估计的精度估计待估计参数的精度估计直接测量量mnxxxlll,,,,,,2121第1节最小二乘法的数据处理1、测量数据的精度估计mnv][2第1节最小二乘法的数据处理2、最小二乘法估计量的精度第1节最小二乘法的数据处理第1节最小二乘法的数据处理nnmmnnmmmmmmladadadladadadladadadladladladx)()()(][][][1212111221221221111111212111112121111nmmnnnmmmmadadadhadadadhadadadh12121111212212211112111212111111nnlhlhlh1212111行的第为矩阵1,,,111211Cdddm由于：第1节最小二乘法的数据处理22121221121)(nxhhh)()(12121111nnlhlhlhDxD2212221221211nnhhhmnpv][2注：若为非等精度，单位权标准差为：（需要对上式进行化简，使结论更明确）第1节最小二乘法的数据处理001)'(001121222121211111211Cddddddddddddmmmmmmm001001)'(001)'(''1111211CCCCdddCm由于：需要将左边矩阵乘积展开：第1节最小二乘法的数据处理所以：即为对称矩阵而',][][][][][][][][][212221212111CCaaaaaaaaaaaaaaaaaaCmmmmmm第1节最小二乘法的数据处理0][][][0][][][1][][][001][][][][][][][][][0011122111121222111211122111111121121222121211111211mmmmmmmmmmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaadddaaaaaaaaaaaaaaaaaadddC第1节最小二乘法的数据处理22121221121)(nxhhh对于将其系数h展开，并注意到：0][][][0][][][1][][][112211112122211121112211111mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaa适当的合并同类项后得：第1节最小二乘法的数据处理mmxxxdddm221121结论：)(),,,(12211的标准差为等精度测量量对角线为lCdddmm（等精度测量）第1节最小二乘法的数据处理对于非等精度测量：mmxxxdddm221121结论：nnnpppP00000021通过直接测量待测参数的组合量（一般是等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量及精度估计。四、最小二乘法的组合测量第1节最小二乘法的数据处理以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离。321,,xxxABCD1x3x2xABCD1l3l2l4l6l5l第1节最小二乘法的数据处理直接测量各组合量，得mmlmmlmmlmmlmmlmml032.3981.1016.2020.1985.0015.1654321首先列出误差方程)()()(3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv由此可得：第1节最小二乘法的数据处理111110011100010001ˆ032.3918.1016.2020.1985.0015.1321654321AxxxXllllllL则LAAALACxxxXTTT