高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总

1高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos()sinxxttyyt为参数00(,)xy为直线上的定点，t为直线上任一点(,)xy到定点00(,)xy的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos()sinxarybr为参数(a,b)为圆心，r为半径；椭圆22221xyab的参数方程是cos()sinxayb为参数；双曲线2222-1xyab的参数方程是sec()tanxayb为参数；抛物线22ypx的参数方程是22()2xpttypt为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(,)，直角坐标为(,)xy，则cosx,siny,222xy,tanyx。【题型1】参数方程和极坐标基本概念1．点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（C）A．(2,)3B．(2,)3C．2(2,)3D．(2,2),()3kkZ2．圆5cos53sin的圆心坐标是（A）A．4(5,)3B．(5,)3C．(5,)3D．5(5,)33．已知P为半圆C：（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为3。1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；2）求直线AM的参数方程。解：1）由已知，M点的极角为3，且M点的极径等于3，故点M的极坐标为（3，3）.2）M点的直角坐标为（3,66），A（0,1），故直线AM的参数方程为21(1)636xtyt（t为参数）4．已知曲线C的参数方程为sin51cos52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。1)求曲线c的极坐标方程2)若直线l的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。解：(1)∵曲线c的参数方程为sin51cos52yx(α为参数)∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将sincosyx代入并化简得：=4cosθ+2sinθ即曲线c的极坐标方程为=4cosθ+2sinθ(2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c到直线l的距离为d=22=2∴弦长为225=23.5．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin（θ＋4），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝，θ＝＋4，θ＝－4，θ＝2＋与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．解：（1）1C：2)1()1(22yx，2C：ay，因为曲线1C关于曲线2C对称，1a，2C：1y（2）)4sin(22||OA；cos22)2sin(22||OBsin22||OC，3)4cos(22)43sin(22||OD24||||||||ODOBOCOA【题型2】直线参数方程几何意义的应用1．已知直线113:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB52。2．直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（C）A．98B．1404C．82D．93433．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为122322xtyt（t为参数），直线l与曲线C：22(2)1yx交于A，B两点.（1）求AB的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为322,4，求点P到线段AB中点M的距离.解：（1）直线l的参数方程为122322xtyt，，（t为参数），代入曲线C的方程得24100tt．设点A，B对应的参数分别为12tt，，则124tt，1210tt，所以12||||214ABtt．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(22)，，所以点P在直线l上，中点M对应参数为1222tt，由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离||2PM．4．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积。4解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt122tt，则点P到,AB两点的距离之积为25．设经过点(1,0)P的直线l交曲线C：2cos3sinxy(为参数)于A、B两点．（1）写出曲线C的普通方程；（2）当直线l的倾斜角60时，求||||PAPB与||||PAPB的值．解：（1）C：22143xy．（2）设l：11232xtyt（t为参数）联立得：254120tt212121216||||||45PAPBtttttt，1212||||||5PAPBtt6．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点M的极坐标为(3,)2，若直线l过点P，且倾斜角为6，圆C以M为圆心，3为半径．（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于,AB两点，求PAPB．解：（1）直线l的参数方程为31,212,2xtyt为参数）t(，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2xtyt代入22(3)9xy，得2(31)70tt，127tt，设点,AB对应的参数分别为12,tt，则12,PAtPBt,7.PAPB7．以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的5长度为长度单位建立极坐标系.已知直线l的参数方程为2312xtyt（t为参数），曲线C的极坐标方程为2sin4cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于AB、两点，求AB.解：(1)由cos4sin2，既cos4sin22曲线C的直角坐标方程为xy42.(2)l的参数方程为代入24yx，整理的07842tt，所以122tt，1274tt所以14374134)(132)3(212212122ttttttAB.【题型3】两类最值问题1．已知曲线C：2219xy，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.解：（1）曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数），直线l的直角坐标方程为20xy（2）设(3cos,sin)P，P到直线l的距离10cos()23cossin222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P到直线l的距离的最大值max52d2．已知曲线C的极坐标方程为2sincos10，曲线13cos:2sinxCy（为参数）．（1）求曲线1C的普通方程；（2）若点M在曲线1C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．解：（1）曲线1C的普通方程是：22194xy（2）曲线C的普通方程是：2100xy设点(3cos,2sin)M，由点到直线的距离公式得：63cos4sin1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d，此时98(,)55M3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是22222xtyt（t为参数），以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为(2,0)，试求11PAPB的值.解：（1）由42cos()4，展开化为2242(cossin)4(cossin)2，将cossinxy代入,得22440xyxy，所以，圆C的直角坐标方程是22440xyxy.（2）把直线l的参数方程22222xtyt（t为参数）代入圆的方程并整理，可得：22240tt.设A，B两点对应的参数分别为12,tt，则121222,40tttt，所以2121212()426tttttt.∴121212111126642ttPAPBtttt.4．已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,,,ABCD的直角坐标；7（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围.解：（1）点,,,ABCD的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636点,,,ABCD的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)Pxy；则002cos()3sinxy为参数2222224416tPAPBPCPDxy23220sin[32,52]