系统工程一次移动平均法和一次指数平滑法

5.1一次移动平均法和一次指数平滑法5.2线性二次移动平均法5.3季节预测5时间序列平滑预测法回总目录5.1一次移动平均法和一次指数平滑法一、一次移动平均法•一次移动平均方法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。回总目录回本章目录•在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值，再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。回总目录回本章目录（1）移动平均法有两种极端情况•在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；•N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值。回总目录回本章目录当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。回总目录回本章目录由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正，N越大平滑效果愈好。设时间序列为1,2,...,xx移动平均法可以表示为：11111.../tttttNitNFxxxNxN式中：tx为最新观察值；1tF为下一期预测值；回总目录回本章目录（2）移动平均法的优点计算量少；移动平均线能较好地反映时间序列的趋势及其变化。回总目录回本章目录（3）移动平均法的两个主要限制限制一：计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量的数值时，就必须存储大量数据；回总目录回本章目录限制二：N个过去观察值中每一个权数都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值包含更多信息，应具有更大权重。回总目录回本章目录•例1分析预测我国平板玻璃月产量。例题分析时间序号实际观测值三个月移动平均值五个月移动平均值1980.11980.21980.31980.41980.51980.61980.71980.81980.91980.101980.111980.12123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5---215.9222.6224.8214.6209.0211.6214.3220.6227.0-----218.4217.4216.1215.8212.4213.6223.5下表是我国1980-1981年平板玻璃月产量，试选用N=3和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表中。回总目录回本章目录050100150200250300123456789101112系列1系列2系列3二、一次指数平滑法一次指数平滑法是利用前一期的预测值tF代替ntx得到预测的通式，即：tttFxF)1(1回总目录回本章目录一次指数平滑法是一种加权预测，权数为α。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和α值，就可以进行预测。它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。由一次指数平滑法的通式可见：回总目录回本章目录一次指数平滑法的初值的确定有几种方法：取第一期的实际值为初值；取最初几期的平均值为初值。一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力图找到最佳的α值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。回总目录回本章目录•例2利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1月我国平板玻璃月产量进行预测（取α=0.3，0.5，0.7）。并计算均方误差选择使其最小的α进行预测。拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7试预测。结果列入下表：回总目录回本章目录时间序号实际观测值指数平滑法α=0.3α=0.5α=0.71980.011980.021980.031980.041980.051980.061980.071980.081980.091980.101980.111980.121981.01123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5—203.8206.9213.8216.8218.0212.1210.8216.1213.2217.3226.5—203.8209.0230.0226.9223.8211.1209.5219.0212.8219.8233.8—203.8211.0224.2223.9221.7205.4207.1222.1211.2222.1240.1回总目录回本章目录050100150200250300123456789101112实测值α=0.3α=0.5α=0.7α=0.3，α=0.5，α=0.7时，均方误差分别为：MSE=287.1MSE=297.43MSE=233.36因此可选α=0.7作为预测时的平滑常数。1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：由上表可见：68.2531.2403.05.2597.0最小回总目录回本章目录5.2线性二次移动平均法一、线性二次移动平均法（1）基本原理为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。回总目录回本章目录（2）计算方法线性二次移动平均法的通式为：121...ttttNtxxxxSN121...ttttNtSSSSSN2tttaSS21tttbSSNtmttFabmm为预测超前期数（5.1）（5.2）（5.3）（5.4）回总目录回本章目录（5.1）式用于计算一次移动平均值；（5.2）式用于计算二次移动平均值；（5.3）式用于对预测（最新值）的初始点进行基本修正，使得预测值与实际值之间不存在滞后现象；（5.4）式中用其中：12NttSS除以，这是因为移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应落在N个点的中点。回总目录回本章目录观察年份时序实际观察值Mt(1)(n=4)Mt(2)(n=4)199113819922451993335199444941.75199557049.75199664349.25199774652.0048.19199885553.5051.13199994547.2550.502000106552.7551.382001116457.2552.692002124354.2552.8801020304050607080123456789101112季节变动法预测•季节变动预测的基本思路是：首先根据时间序列的实际值，观察不同年份的季或月有无明显的周期波动，以判断该序列是否存在季节变动；然后设法消除趋势变动和剩余变动的影响，以测定季节变动；最后求出季节指数，结合预测模型进行预测。•季节变动预测必须收集三年以上的资料。•季节变动预测的方法有：简单平均法季节比例法简单平均法（1）•简单平均法也称做同月（季）平均法，即通过对若干年份的资料数据求出同月（季）的平均水平，然后对比各月（季）的季节指数表明季节变动程度，结合预测模型进行预测。•简单平均法的具体步骤是：根据各年份资料求出每月（季）平均数；计算全时期月（季）总平均数；求出月（季）季节指数；进行预测。月（季）季节指数的计算•SI表示月（季）季节指数，表示各月（季）平均数，表示全时期总月（季）平均数%100XxSIiiixX简单平均法（2）•例：若假定2002年全年预计销量为30000，则全年月平均销量为2500。月年199920002001合计月平均季节指数预测值18012032052017313.7342.5212020040072024019.04753200350700125041733.1827.545008501500285095075.31882.558001500240047001567124.33107.56250045006800138004600364.891207240064007200160005333422.910572.5860090015003000100079.31982.59200400600120040031.7792.51010025040075025019.849511601002003601209.5237.5124080110230776.1152.5合计760015650221304538012611200.002500季节比例法（1）•季节比例法是为了消除趋势变动和剩余变动的影响，利用各月（季）的实际值与趋势值之比计算季节指数来分析和确定各月（季）预测值的一种方法。•季节比例法的基本步骤是：求趋势值计算各期的趋势比率计算季节指数进行预测季节比例法（2）•例：根据下表时间序列预测2002年各季度销售量。观察年分时序（t）观察值（x）t2tx趋势值趋势比率（TI）199913213225.091.2821843626.210.6932196327.330.774391615628.451.3720005362518029.371.226213612630.690.687244916831.810.758446435232.931.3420019398135134.051.15102510025035.170.71112812130836.290.77124814457637.411.28合计783756502598季节比例法（3）•计算过程第一步：求趋势值假定各季度销售量呈直线趋势变化，根据最小二乘法建立直线趋势预测模型，利用上表中数据可求得即有直线趋势预测数学模型btaxt97.23127812.11237512.1786501237578259812)(222ntbnxattnxttxnbtxt12.197.23季节比例法（4）•第二步：根据直线趋势预测模型计算各期趋势值。89.411612.197.2377.401512.197.2365.391412.197.2353.381312.197.2381.31712.197.2321.26212.197.2309.25112.197.2316151413721xxxxxxx季节比例法（5）•第三步：计算各期趋势比率。28.141.374877.029.362877.033.272169.021.261828.109.2532121212111111333222111xxTIxxTIxxTIxxTIxxTIxxTIiii所以有:趋势比率的计算公式是季节比例法（6）•第四步：计算季节指数。季节指数等于同月（季）趋势比率和与资料年份数的比。所以有33.1328.134.137.176.0377.075.077.069.0371.068.069.022.1315.122.128.14321SISISISI季节比例法（7）•第五步：进行预测。根据上述计算结果，2002年各季度的销售量预测值如下：7.5533.189.41)(0.3176.077.40)(4.2769.065.39)(0.4722.153.38)()(4164431533214221131112SIxSIbtaXSIxSIbtaXSIxSIbtaXSIxSIbtaXSIxSIbtaXiiii所以有预测公式为：季节比例法（8）•预测结果。季度序号趋势比率平均趋势比率2002年趋势值