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自动控制原理第二章控制系统的数学模型1自动控制原理22.1控制系统的时域数学模型2.1.1线性元件的微分方程1、定义:描述控制系统内部变量(物理量)之间动态关系的数学表达式。2、建立数学模型的目的●建立系统的数学模型,是分析和设计控制系统的首要工作(或基础工作)。●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等,通过数学模型来研究自动控制系统,可以摆脱各种不同类型系统的外部特征,研究其内在的共性的运动规律。自动控制原理3例2.1如图RLC电路,试列写以ur(t)为输入量,uc(t)为输出量的网络微分方程。解:RLCi(t)ur(t)uc(t))()()()(tutRitudttdiLrcdttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc自动控制原理4dttdyftF)()(1)()()()(2122tFtFtFdttydmFy(t)kfm)()()()(22tFtkydttdyfdttydm整理得:解:阻尼器的阻尼力:例2.2图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。)()(2tkytF弹簧弹性力:自动控制原理5线性系统微分方程的编写步骤:(1)确定系统和各元部件的输入量和输出量。(2)对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的遵循物理定理的微分方程。(3)对上述方程进行适当的简化,比如略去一些对系统影响小的次要因素,对非线性元部件进行线性化等。(4)从系统的输入端开始,按照信号的传递顺序,在所有元部件的方程中消去中间变量,最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。(5)变换成标准形式,将与输入有关的各项放在等号右边,与输出有关的各项放在等号左边,并且分别按降幂排列。自动控制原理2.1控制系统的时域数学模型——微分方程定义:用微分方程来描述系统的运动规律,得到的输入和输出之间的公式。由于微分是针对时间t的,因此又称为时域模型。描述线性系统的微分方程是线性微分方程。c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011-m1-m1-mmmmb6其中,系数(i=0,1,2,…n;j=0,1,2…m)均为实数,它们是由系统本身的结构参数所决定的,与输入输出无关。b,aji自动控制原理7例建立RC电路运动方程。r(t)——输入量(电压)c(t)——输出量(电压)(RC=T)RC()it()rt()ct(t))(dtdC(t)TrtC2.1控制系统的时域数学模型——微分方程由于很多物理规律是用微分方程描述的,因此微分方程描述是系统最基本的描述。自动控制原理传递函数是经典控制最基本,最重要的概念之一。定义:线性定常系统在初始条件为零时,输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。设:输入----r(t),输出----c(t),则传递函数:那么:C(s)=G(s)R(s)。利用传递函数,输入和输出之间存在简单的乘积关系。8R(s))s(CL[r(t)]L[c(t)]G(s)2.2控制系统的复域数学模型——传递函数自动控制原理如果系统微分方程为:对上式两边进行拉氏变换:9c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011-m1-m1-mmmmbR(s)bsR(s)bR(s)sbR(s)sb)s(Ca)s(sCaC(s)saC(s)sa011m-1mmm011n-1nnn011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)可以得到控制系统传递函数的分式表达:自动控制原理jiT和10)1)1)1()1()1)(1()()(2121sTsTsTssssKsRsCnm((1212112112]12)[()1(]12)[()1()()(njnlpnpnjmimkznkznkillsssssssKsRsCa.表示成典型环节形式:nmabK——系统的稳态增益;其中,称为时间常数,当存在复数时间常数时,常化成二次形式:自动控制原理11njjmiirpzKK11iz——系统的零点;零极点可以是复数或实数,复数必定是成对(共轭)出现。rKK和有如下关系)())(()())(()()(2121nmrpspspsszszszsKsRsCjp——系统的极点,个零极点。其中有——增益因子。rKb.表示成零、极点形式:自动控制原理1)传递函数是系统(或环节)在复数域中的数学模型,是固有特性的描述。2)传递函数只取决于系统本身的结构参数,与外界输入无关。3)传递函数大都是复变量s的有理真分式函数,即mn。(m、n分别为分子、分母多项式的次数。)4)若输入为单位脉冲函数,即R(s)=L[r(t)]=1,则12G(s)G(s)R(s)C(s)这意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也说明了传递函数与输入无关,而有系统特征唯一确定。关于传递函数的几点说明:5)闭环系统传递函数G(s)的分母称为系统的特征多项式,对应的方程称为特征方程。自动控制原理)(jGj132.3控制系统的频域数学模型——频率特性sj系统传递函数中的用得到的称为代替,系统的频率特性。1212112112]12)[()1(]12)[()1()()(njnlppjmimkzkzkillsssssssKsRsC1212112112]12)[()1()(]12)[()1()()(njnlppjmimkzkzkilljjjjjjjKjRjC传递函数:频率特性:自动控制原理例建立RC电路运动方程。r(t)——输入量c(t)——输出量时域:(RC=T)——微分方程复域:——————传递函数频域:——频率特性14RC()it()rt()ct(t))(dtdC(t)TrtC11R(s)C(s)G(s)Ts1jT11RCj1c)G(jωωωr自动控制原理二.“三域”数学模型及其相互关系微分方程(时域)系统传递函数(复域)频率特性(频域)LFts1F1Lsjsj15自动控制原理2-1数学模型微分方程、传递函数和频率特性分别是系统在时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研究分析一个控制系统的特性时,可以根据对象的特点和工程的需要,人为地建立不同域中的数学模型进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法,把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称为工程分析法。一般来说,工程分析法比数学分析法直观、方便,这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。16自动控制原理2.4典型环节的数学模型特点:输出量按一定比例复现输入量,无滞后、失真现象。运动方程:c(t)=Kr(t)K——放大系数,通常都是有量纲的。传递函数:频率特性:K)(sR)(sC17KR(s)C(s)G(s)K)R(j)C(j)G(j由于传递函数可以分解成因子的乘积,实数范围内的因子最多为两次,这些因子称为典型因子,相对的系统称为典型环节。1.比例环节(又叫放大环节)自动控制原理例1:输入:(t)——角度E——恒定电压输出:u(t)——电压Eu(t)K)(s)(sU++-()t18运动方程:u(t)=K(t)传递函数:K——比例系数,量纲为伏/弧度。频率特性:G(j)=KK(s)U(s)G(s)自动控制原理例2:输入:n1(t)——转速Z1——主动轮的齿数输出:n2(t)——转速Z2——从动轮的齿数12zz1Ns2Ns1()nt2()nt1Z2Z19运动方程:传递函数:频率特性:(t)nzz(t)n1212Kzz(s)N(s)NG(s)2112Kzz)(jωN)(jωN)G(jω2112自动控制原理其它一些比例环节()rt()ct1r2r()RsCs212rrr()RsCs21RRK+-()rt()ct1R2R3R+cER()cit()bit()cIs()bIs20自动控制原理2、微分环节)(sR)(sCS21特点:动态过程中,输出量正比于输入量的变化速度。运动方程:传递函数:频率特性:dtdr(t)KC(t)KSR(s)C(s)G(s)jKω)R(jω)C(jω)G(jω自动控制原理例1RC电路设:输入——电压ur(t)输出——电流ic(t)于是得到:运动方程:传递函数:频率特性:G(j)=jC22i(t)dtC1(t)ur)(i(t)uC(t)dtiC1(t)ucrcrt或者sC(s)U(s)IG(s)rcur(t)ir(t)注意:同一个系统输入输出的物理量不同会有不同的传递函数!自动控制原理例2:测速发电机CF的数学描述输入:(t)——电动机D转子(与测速发电机同轴)的转角输出:uf(t)——测速发电机的电枢电压运动方程:传递函数:G(s)=Ks频率特性:G(j)=jKF()futD()dut()t23dt(t)dK(t)uf自动控制原理)(sR)(sCs1243、积分环节特点:输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程:传递函数:频率特性:ttrtcd)(K)(sKG(s)jωK)G(jω自动控制原理例:如右电路运动方程:传递函数:(T=R1C)频率特性:K+-()rt()ct1R3RC()cit1()it)(sR)(sCCsR11jTK)R(j)C(j)G(j25r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)11cRr(t)(t)i(t)i输入为r(t),输出为c(t)自动控制原理其它积分环节举例D()nt()xtDs()Ns()Xs()ut()it1Cs()Is()Us26自动控制原理4、惯性环节(又叫非周期环节)特点:此环节中含有一个独立的储能元件,以致对突变的输入来说,输出不能立即复现,存在时间上的延迟。运动方程:传递函数:频率特性:)(sR)(sC11Ts27Kr(t)c(t)dtdc(t)T1TsKG(s)1jTωK)G(jω自动控制原理例1:直流电机输入量:ud——电枢电压输出量:id——电枢电流因为运动方程:传递函数:式中Ld——电枢回路电感;Rd——电枢回路电阻;τd——电枢绕组的时间常数;+dudiDdddRL28ddddduiRidtdLddddRuidtd11)()(G(s)sRsUsIdddd自动控制原理其他一些惯性环节例子r(t)11LsR()Rs()CsM()ft()vtB()Fs()Vs()Tt()tJB()Ts()sc(t)RL11sBJB11sBJB29自动控制原理5、振荡环节特点:包含两个独立的储能元件,当输入量发生变化时,两个储能元件的能量进行交换,使输出带有振荡的性质。运动方程:传递函数:式中:——阻尼比,T——振荡环节的时间常数。频率特性:)(sR)(sC12122TssTTjTjRjCjG2)1(1)()()(2230Kr(t)c(t)dtdc(t)T2ζdtc(t)dT222)(sR)(sC12122TssT自动控制原理例1:RLC电路ωωωωωjRC)LC-(111)RC(j)LC(j1)G(j22c(t)r(t)RLC+_()it+__31i(t)dtC1c(t)i(t)dtC1ri(t)dtdi(t)Lr(t)
本文标题:自动控制原理第二章课件数学模型.
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