自动控制理论_第五章频率特性法

自动控制理论26/4/2009第五章频率特性法第五章频率特性法在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，因而可避免繁琐复杂的运算。来分析和设计控制系统的性能。第一节频率特性的基本概念第二节典型环节与系统的频率特性第三节用实验法确定系统的传递函数第五节频率特性与系统性能的关系第六节频率特性法分析系统性能举例第四节用频率特性法分析系统稳定性第七节MATLAB用于频域分析第五章频率特性法第一节频率特性的基本概念频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示法第五章频率特性法G(S)R(s)C(s)系统结构图如图:一频率特性的定义设系统传递函数为第一节频率特性的基本概念特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ω2ωr(t)=Asinωt·=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)As2+ω2ω=A1s+jBis–si∑ni=1+ωA2s-j+ω拉氏反变换得:c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi系统的稳态响应为cs(t)=limc(t)t→∞e-jtωejtω+A2=A1求待定系数:A1=G(s)(s+js=-jAs2+ω2ωω)ω=G(-j-2jAω)同理:-jG(jω)G(-jω)=|G(jω)|e根据-2j-jG(jω)A|G(jω)|e==2jA|G(jω)|ejG(jω)G(j2jAω)A2=-2jcs(t)=A|G(jej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+ω)|[G(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sinω)]系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位差为∠G(jω)。系统输入输出曲线r(t)t0c(t)AAG(jω)r(t)=AsinωtG(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sin[ω)]G(jω)定义频率特性为:)G(jωjG(jω)=|G(jω)|e)ejφ(ω)=A(ω幅频特性：)=|G(jω)|A(ω相频特性：G(jω)φ(ω)=频率特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。第一节频率特性的基本概念例求图所示RC电路的频率特性，并求该电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解:传递函数为G(s)=Ts+11T=RC频率特性电路的稳态输出:+-ucur+-CiRur(t)=AsinωtT+11)=G(jωjω=1+(ωT)2-j1ω1+(T)2TωωT)t-tg-1Asin(cs(t)=ω1+(T)2ω√幅频特性和相频特性)=|G(jω)|A(ω=1+(T)21ω√G(jω)φ(ω)=ωT=-tg-1第一节频率特性的基本概念ω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTTRC电路的频率特性曲线ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTT频率特性可表示为：)G(jω)ejφ(ω)=A(ω=P(ω)+jQ(ω))=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ+Q2(√)=A(ωP2(ω)ω)第一节频率特性的基本概念0Reω∞Imωω=0二频率特性的几何表示法频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下两种。1．幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线幅相频率特性曲线也称极坐标图第一节频率特性的基本概念-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω2．对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称伯德图.对数幅频特性十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为：dBL(ω)=20lgA(ω)lgω-101dec为方便只表示ωL(ω)=20lgA(ω)单位为dB斜率对数相频特性)(ωφ第一节频率特性的基本概念返回作业习题：5-1(1)第一节频率特性的基本概念5-2第五章频率特性法第二节典型环节与系统频率特性频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.一、典型环节的频率特性二、控制系统开环频率特性一典型环节的频率特性1．比例环节0KReIm(1)奈氏图G(s)=K第二节典型环节与系统的频率特性=K)G(jωK)=A(ω0oφ(ω)=(2)伯德图对数幅频特性：=20lgKL(ω)=20lgA(ω)20lgK010.1ωdBL(ω)对数相频特性：=0o)=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ010.1ω)(ωφ2．积分环节(1)奈氏图ReIm0ω=0∞G(s)=1s1j)=G(jωω1ω)=A(ω-90oφ(ω)=(2)伯德图对数幅频特性：=-20lgωL(ω)=20lgA(ω)对数相频特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=-20lg1=0dBω=0.1L(ω)=-20lg0.1=20dB)(ωφdBL(ω)020-20第二节典型环节与系统的频率特性3．微分环节(1)奈氏图G(s)=sω)=A(ω90oφ(ω)=j)=G(jωωReIm0ω=0∞(2)伯德图对数幅频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgω对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=20lg1=0dBω=0.1L(ω)=20lg0.1=-20dB)(ωφdBL(ω)020-20090第二节典型环节与系统的频率特性4．惯性环节G(s)=1Ts+11T+1j)=G(jωωT)211+(ω)=A(ωωT-tg-1φ(ω)=(1)奈氏图根据幅频特性和相频特性求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点：ω=0)=1A(ω0oφ(ω)=ω=∞-90oφ(ω)=-0)=A(ω1ω=T)=0.707A(ω-45oφ(ω)=绘制奈氏图近似方法:ReIm0ω=011ω=T-45ω∞可以证明：惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图对数幅频特性：转折频率-20dB/decT110TωdBL(ω)T)211+(ω)=20lgL(ωω1T(ωT)21=0dB20lg1~~L(ω)ω1/T频段,可用0dB渐近线近似代替-20020ω1T(ωT)2120lgT1~~L(ω)ω=-20lgωTω1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两渐近线相交点的为转折频率ω=1/T。渐近线渐近线渐近线产生的最大误差值为：21L=20lg=-3.03dB精确曲线为精确曲线相频特性曲线：ωT-tg-1φ(ω)=ω0-45-90)(ωφω=00oφ(ω)=1ω=T-90oφ(ω)=--45oφ(ω)=ω→∞第二节典型环节与系统的频率特性5．一阶微分环节G(s)=1+Ts(1)奈氏图1∞ω=0ω=∞1)=A(ω0oφ(ω)=∞)=A(ω90oφ(ω)=T)21+(ω)=A(ωωTtg-1φ(ω)=T+1j)=G(jωωReIm0ω=0第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴。20dB/decT110TωdBL(ω)-20020ω)(ωφ对数幅频特性：T)21+(ω)=20lgL(ω渐近线相频特性曲线：ωTtg-1φ(ω)=45090ω=00oφ(ω)=1ω=T45oφ(ω)=90oφ(ω)=ω→∞第二节典型环节与系统的频率特性6．振荡环节n=(1-ωω2ω1)222n)2+(ζωG(s)=ωnωnζs2+2s+ωn22ωnωnζωωn22)=G(jωω-2+j2)2(ωnωnζωωn22)=A(ωω-2)2+(2(1)奈氏图1ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ReIm0-90oφ(ω)=21)=A(ωζω=ωnω=∞0)=A(ω-180oφ(ω)=ω=0ω∞ω=ωn将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。ζ=0.4幅相频率特性曲线因ζ值的不同而异。ζ=0.6ζ=0.8ωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图对数幅频特性：)2(ωnωnζωωn22ω-2)2+(2)=20lgL(ωωnωωωn=0dBL(ω)≈20lg1ωdBL(ω)ωn(ω2L(ω)≈20lg)ωnω=-40lgωn-20020-40ωn10精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ较小，幅值出现了峰值。ωd=0)dA(ω可求得Mr=11-ζ22ζωrω=1-2ζ2n谐振频率谐振峰值精确曲线ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5相频特性曲线：ω0-90-180)(ωφωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1ω=00oφ(ω)=-90oφ(ω)=ω=ωnω=∞-180oφ(ω)=ζ不同，相频特性曲线的形状有所不同：ζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7第二节典型环节与系统的频率特性7．时滞环节奈氏图是一单位圆(1)奈氏图1ω=0G(s)=e-τsjG(jωω)=e-τωτφ(ω)=-1)=A(ωReIm0ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ω=∞1)=A(ω-φ(ω)=∞(2)伯德图L(ω)=20lg1=0dBωdBL(ω)020ωτφ(ω)=-ω)(ωφ0-100-200-300第二节典型环节与系统的频率特性8．非最小相位环节最小相位环节:最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。开环传递函数中没有s右半平面上的极点和零点。开环传递函数中含有s右半平面上的极点或零点。非最小相位环节:第二节典型环节与系统的频率特性以一阶不稳定环节为例说明：ω=0-1ω=0(1)奈氏图G(s)=1Ts-11T-1j)=G(jωωT)211+(ω)=A(ω-1ωT-tg-1φ(ω)=ReIm01)=A(ω-180oφ(ω)=ω=∞)=0A(ω-90oφ(ω)=ω∞(2)伯德图T)211+(ω)=20lgL(ω-20dB/decT1ωdBL(ω)-20020ω0-90-180)(ωφ第二节典型环节与系统的频率特性环节传递函数斜率dB/dec特殊点φ(ω)0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=转折频率转折频率1ω=τ转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例积分重积分惯性比例微分振荡常用典型环节伯德图特征表00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs第二节典型环节与系统的频率特性二、控制系统开环频率特性频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能,这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。第二节典型环节与系统的频率特性1．系统开环幅相频率特性曲线系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：积分环节的个数时间常数系统的阶次开环增益nm幅频特性:相频特性:近似绘制系统的奈氏图:先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1υKΠi=1Πn-υυυ90o+m∑n-j=1∑i=1φ(ω)=-ωτtg-1ωTjtg-1imG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二节典型环节与系统的频率特性(1)0型系统υ=0特殊点:系统起点和终点Kυ=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj)21+(ω)=A(ωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πnm∑nj=1∑i=1φ(ω)=ωτtg-1ωTjtg-1iReIm0ω=0)=KA(ω0oφ(ω)=ω=∞0)=A(ω-(n-m