自考04184线性代数(经管类)讲义5

第五章特征值与特征向量在本章中，我们将应用在第四章中建立的线性方程组的解的理论和求解方法，给出方阵的特征值和特征向量求法，研讨方阵化成对角矩阵的问题，并具体应用到实对称矩阵的对角化问题上。5.1特征值与特征向量5.1.1特征值与特征向量的定义下面给出方阵的特征值和特征向量的定义定义5.1.1设A（aij）为n阶实方阵。如果存在某个数λ和某个n维非零列向量p满足Ap=λp，则称λ是A的一个特征值，称p是A的属于这个特征值λ的个特征向量例1.验算是否是的特征向量。[答疑编号：10050101针对该题提问]解:①②∴p是A的特征向量，且这时特征值λ=5为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=λp（Ap=λEnp）改写成（λEn-A）=0。再把λ看成待定参数，那么p就是齐次线性方程组（λEn-A）x=0的任意一个非零解。显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：|λEn-A|=0。定义5.1.2带参数的λ的n阶方阵λEn－A称为A的特征方阵，它的行列式|λEn－A|称为A的特征多项式，称|λEn－A|＝0为A的特征方程。根据特征方程求特征值和特征向量时1、解特征方程|λEn－A|＝0，得出特征向量；2、把特征向量代入矩阵，再对矩阵作初等变换，列齐次线性方程，取其解。5.1.2关于特征值和特征向量的若干结论命题1三角矩阵的特征值就是它的全体对角元命题2一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量。命题3A的同一特征值λ的不同特征向量p1，p2的线性组合仍是A属于λ的特征向量。定理5.1.1n阶方阵A和它的转置矩阵AT必有相同的特征值。注意:A和AT未必有相同的特征向量,即当Ap=λp时未必有ATp=λp,定理5.1.2（1）若λ是A的特征值，则λm点Am的特征值，而且Am与A有同一特征向量。（2）若λ是A的特征值且λ≠0，则λ-1是A-1的特征值而且A-1与A有相同的特征向量。定理:5.1.3设A为n阶方阵，f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为m次多项式，f（A）=amAm+am-1Am-1+…a1A+a0En为对应的A的方阵多项式。如果Ap=λp，则必有f（A）p=f（λ）p,这说明f（λ）必是f（A）的特征值，特别，当f（A）=0时，必有f（λ）=0，即当f（A）=0时A的特征值必然是对应的m次多项式f（x）的根。5.1.3关于求特征值和特征向量的一般方法定理5.1.4设是n阶方阵的全体特征值，则必有5.2方阵的相似变换定义5.2.1设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A和B是相似的，记为A～B。当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。事实上，有矩阵等式（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。事实上，有（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。此定理的逆定理并不成，具有相同特征多项式的两个方阵未必相似推论，若n阶方阵A相似于对角矩阵或三角矩阵：或则其中的n个对角无就是A的n个特征值。定义5.2.2对于方阵A，若有（对角形矩阵）则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。定理5.2.2三阶方阵A与对角阵∧相似A有三个线性无关的特征向量。定理5.2.4设λ1，λ2，…，λk是n阶方阵A的两两不同的特征值,p1是属于λi，1≤i≤k的特征向量，则p1，p2,…pk是线性无关组。根据定理5.2.2和定理5.2.4，可以得到以下两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似。由本题知，若p-1AP=∧则有A=P∧P-1小结求相似更换矩阵P，使P-1AP=∧的步骤。第一步，解特征方程，求特征值λ1，λ2，λ3第二步，对应于每个特征值λi（i=1,2,3）解齐次线性方程组的基础解pi就是特征向量（i=1,2,3）注意k垂特征应用有k个基础解向量。第三步，令相似变换矩阵p=（p1,p2,p3）有5.3向量内积和正交矩阵为了引进正交矩阵这一类重要的方阵。我们先介绍两个向量内积的概念。5.3.1向量内积定义5.3.1两个n维行向量的内积为两个同维向量的内积是:对应的分量的乘积之和，它是一个实数。注意：1、从内积定义可以看出：无论两个行向量还是两个列向量只要是同维就有内积，他们的内积是个数，内积的大小等于各对应分量乘积的和定义5.3.2n维行向量α=（a1,a2,…,an）的长指的是实数，当时，称α为单位向量。∴若α=（a1,a2,…,an），则定义，若向量α的长度，就说α是单位向量。定义5.3.3设正交当且仅当，即。任何一个非0向量α，除以它的长度后得到的向量一定是单位向量。定义5.3.3设正交当且仅当，即。定义5.3.4如果一个同维向量组中不含零向量，且其中任意两个向量都是正交的（简称为两两正交），则称这个向量组为正交向量组。定义5.3.5若是Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组）定量5.3.1正交向量组一定是线性无关组。5.3.2正交矩阵定义5.3.6如果n阶方阵A满足，则称A为正交矩阵。正交矩阵的基本性质，设A是n阶正交矩阵，则有下列结论：（1）；行列式为±1的方阵未必是正交矩阵,（2）；（3）正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵。正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵。定义5.3.7设A是n阶方阵,x,y是两个n维列向量，则称线性变称y=Ax为正交变换。定理5.3.2两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。这个结论可推广到有限个正交矩阵相乘的情形，即有限个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。定理5.3.3n阶实方阵A是正交矩阵的n个行向量是标准正交向量组的n个列向量是标准正交向量组。A是正交矩阵当且仅当是标准正交向量组。例如，若A，B，C都是n阶正交矩阵，则由知道，ABC是正交矩阵。A是正交矩阵当且仅当是标准正交向量组。定理5.3.4设A是n阶正交矩阵，λ是A的任意一个特征值，则λ≠0而且也是A的特征值。5.4实对称矩阵的相似标准形定理5.4.1实对称矩阵的特征值一定是实数，其特征向量一定是实向量。定理5.4.2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量。定理5.4.3（对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。（本章小结（一）本章的基本概念（1）实方阵的特征值，特征向量的概念。若α≠0，且Aα=λα则α叫A属于特征值λ的特征向量。（2）特征向量的性质（ⅰ）若与是方阵A的属于同一特征值λ的特征向量的线性组合，仍是A属于λ的特征向量。（ⅱ）方阵A的不同特征值的特征向量线性无关。（ⅲ）对称方阵A的不同特征值的特征向量正交。（3）特征值的性质（ⅰ）若λ是A的特征值是的特征值，是的特征值。F(λ)是f(A)的特征值。（ⅱ）是A有0特征值的充分必要条件。（ⅲ）A与有相同的特征值。（ⅳ）若B～A，则B与A有相同特征值，迹和行列式。（ⅴ）若是A的全部特征值，则有①②其中叫A的迹tr(A)（4）向量的长度一定是单位向量。（5）内积若则若（6）若，则A叫正交矩阵性质（ⅰ）A正交（ⅱ）若A正交（ⅲ）A正交的行向量组是标准正交组，A正交的列向量组是标准正交组.（7）若P可逆，使特别情形与标准相似。（8）若P正交使与正交相似。这时有（二）重点练习内定理：只有对称阵才能与正交相似（1）解特征方程求特征值.（2）解齐次线性方程组求A的属于特征值的特征向量。（3）求可逆阵P，使的步骤。（ⅰ）解特征方程求特征值（ⅱ）解齐次线性方程组,取它的基作为A属于的特征向量，（i=1,2,3）若是二重根，则特征基可能有二个。（ⅲ）取一定有（4）求正交阵Q，使的步骤。若A是对称矩阵，（ⅰ）解特征方程求特征值（根）（ⅱ）解齐次线性方程组,求特征向量，通常取其基为特征向量。（ⅲ）若是单根，则已正交。取则是标准正交组。若是二重根，则取再取（ⅳ）取必有第一章实二次型在本章中，我们把在第五章中所建立的实对称矩阵基本定理，具体运用到求实二次型的标准型问题，并讲座正定二次型和正定矩阵。6.1实二次型及其标准形6.1.1实二次型的定义定义n元实二次型指的是含有n个未知量的实系数二次齐次多项式，这里它可简写成矩阵形式：例如所以一般地有当中A为n阶实对称矩阵。一旦选定未知量组，则n元实二次型与n阶实对称矩阵是互相惟一确定的。称A是二次型f的矩阵，称f是以A为矩阵的二次型。由此可见，n元实二次型与n阶实对称矩阵之间密切相关，完全可以用第五章中关于对称矩阵的结论讲座二次型。在本课程中，我们只讨论对称矩阵和实二次型，因此往往省略一个“实”字。例1写出二次型对应的对称矩阵A。[答疑编号：10060101针对该题提问]解可根据所给的二次型的各个系数直接写出对应的对称矩阵。例2写出由对称矩阵确定的二次型.[答疑编号：10060102针对该题提问]解：6.1.2二次型的标准形（一）定义6.1.2只有平方项而没有交叉项的二次型称为二次型的标准形，其对应的矩阵为对角矩阵现在要讨论的问题是，对于一个一般的n元二次型，是否存在某个可逆线性变换即使上述线性变换可记成x=Cy，其中C为n阶可逆矩阵。（二）定义三：若存在可逆阵Q，使（二）定义三：若存在可逆阵Q，使就说A与B合同，记作定义四，若存在正交阵Q，使就说A与B正交合同。由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交，则,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。定理6.1.1对于任意一个n元二次型，一定存在正交变换x=Py，使得其中，就是矩阵A的n个特征值。我们把这种标准形称为二次型的相似标准形，它的n个系数就是对称矩阵A的n个特征值。6.1.3用配方法求二次型的标准形以上所介绍的求二次型的标准形的方法是，先求出对称矩阵A的所有特征值，再求出n个两两正交的单位特征向量组把它们拼成正交矩阵P，就有，其中为对角元为实数的对角矩阵。实际上，这就是找正交变换x=Py,，把原二次型化为标准二次型，其中，是矩阵A的n个特征值。实际上，对于给定的二次型，未必要通过上述正交变换，x=Py，P为可逆矩阵，使得来得到标准形我们把这种标准形称为二次型的合同标准形，它的n个系数未必是对称矩阵A的特征值。常用的方法之一是用配方法求出它的合同标准形。需要注意的是，由于所用的是一般的可逆变换，不一定是正交变换，所以不能说所得到的标准形的系数1.-3就是此二次型对应的对称矩阵的特征值。事实上，它的特征值为1,-1。6.1.4二次型的规范形对于任意一个n元实二次型，可以通过以下两种方法之一得到标准形一种方法是通过正交变换x=Py后得到的，其中P是n阶正交矩阵，满足。此时，根据知道，所得到的标准形中的n个系数就是对称矩阵A的全体特征值。另一种方法是通过可逆变换x=Py后得到的，这里P为可逆矩阵，此时，标准形中的系数就未必是对称矩阵A的特征值。我们要指出一个重要事实：不管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简。定义6.1.4所有平方项的系数均为1,-1或0的标准二次型称为规范二次型。为了叙述方便，对二次型化得的规范二次型，可简称为二次型的规范形。定理6.1.2（惯性定理）任意一个n元二次型，一定可以经过可逆线性变换化为规范形惯性定理的矩阵形式对于任意一个n阶对称矩阵A，一定存在n阶可逆阵R，使得定义6.1.5规范形中的k称为二次型（或对称矩阵A）的正惯性指数，称r-