自适应信号处理(最小二乘快速横向滤波FTF).

4快速横向滤波(FTF)自适应算法FTF算法是由4个横向滤波器组合起来的一种自适应算法.由于这4个滤波器都是用横向滤波算子描述的,因此这些滤波器的参数更新可利用该算子的时间更新来实现,并进而达到横向自适应滤波器参数更新的目的.1.用矢量空间法描述FTF算法中的4个横向滤波器（1）最小二乘横向滤波器设一阶横向滤波器的权矢量为时刻的输入信号矢量期望信号矢量FastTransversalFilter(FTF)AdaptiveAlgorithm)(nMwMT21)(,),(),()(nwnwnwnMMwnT)(,),2(),1()(nxxxnxT)(,),2(),1()(ndddnd由已知的来估计,这时,横向滤波器的输出是的最小二乘估计,即滤波方程为(125)其中,采用前加窗法时的数据矩阵由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定:(126)定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵):(127)则式(126)可写成(128))(nx)(nd)(nd)(ˆnd)()()(ˆ1,0nnnMMwXd])()()([)()1(11,0nznznnMMxxxX)()()(),()(T1,011,0T1,0nnnnnMMMMdXXXw)()(),()(T1,011,01,01,0nnnnMMMMXXXK)()()(1,0nnnMMdKw上式表明,权矢量是横向滤波算子各行矢量与的内积.将式(128)代入式(125),可得(129)估计误差矢量为(130)式中，和分别是数据子空间的投影矩阵和正交投影矩阵。利用单位现时矢量,可求出误差矢量的当前分量:(131)（2）前向预测误差滤波器最小二乘前向预测器是用时刻以前相继的个数据,对该时刻的做最小二乘估计,即(132))(nMw)(1,0nMK)(nd)()()()()()(ˆ1,01,01,0nnnnnnMMMdPdKXd)()()|(1,0nnnnMdPe)(1,0nMP)(1,0nMP)}({1,0nMX)(n)|(nne)()(),()|(),()|(1,0nnnnnnnneMdPe)(nMfnM)(nx)()()(ˆ,1nnnMMfXx在最小二乘意义下,预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子(133)考虑到数据子空间的投影矩阵:因此得到(134)式(134)表明,用横向滤波算子作用于数据矢量,便可求出最小二乘前向预测系数矢量(即最佳权矢量).最小二乘前向预测误差矢量为(135))()()(),()(T,11,1,1nnnnnMMMxXXXfM)()(),()(T,11,1,1,1nnnnNMMMXXXK)}({,1nMX)()(),()()(T,11,1,1,1,1nnnnnMMMMMXXXXP)()()(,1nnnMMxKf)()()(ˆ,1nnnMxPx)(,1nMK)(nx)(nMf)()()(ˆ)()|(,1nnnnnnMxPxxef其当前分量为(136)根据前向线性预测滤波器的输入输出关系,上式还可表示为(137)预测误差能量为(138)（3）后向预测误差滤波器最小二乘后向预测器,是利用时刻以后的个相继数据,向后一步预测[即延时数据].根据上节分析,的最小二乘后向预测矢量为(139)在最小二乘意义下,后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为)()(),()|(),()|(,1nnnnnnnneMfxPef)()()()()()(ˆ)()|(T1nnnxknxnfnxnxnneMMkkffx)()(),()|(),|()(,1nnnnnnnnMfxPxeeff)(nMb)(MnM)}(,),1({nxMnx)(Mnx)(nzMx)(nzMx)()()(ˆ1,0nnMnMMbXx)()()(),()(T1,011,01,0nznnnnMMMMxXXXbM引入横向滤波算子(140)考虑到子空间的投影矩阵因此得到(141)(142)式(141)表明,用横向滤波算子作用于延时数据矢量,便可求出最小二乘后向预测系数矢量(即最佳权矢量).最小二乘后向预测误差矢量为(143)其当前分量为(144))()(),()(T1,011,01,01,0nnnnMMMMXXXK)}({1,0nMX)()(),()()(T1,011,01,01,01,0nnnnnMMMMMXXXXP)()()(1,0nznnMMMxKb)()()(ˆ1,0nznMnMMxPx)(1,0nMK)(nzNx)(nMb)()()|(1,0nznnnMMxPeb)()(),()|(1,0nnnnneMNbxzP误差能量为(145)（4）增益滤波器a)什么是增益滤波器?确切而言,增益滤波器实际是关于角参量的滤波器.现以图9所示的一维数据空间为例予以说明.设时刻的数据子空间为,时刻的数据子空间为,两者之间的夹角为,角参量为(146))()(),()(1,0nznnnMMMbxPxz)(nMg1n)1(nxn)(nx21cos)(n若一维子空间的投影矩阵为,单位现时矢量在上投影为,令(147)很明显,矢量就是对的最小二乘估计.如果把这种估计看成是通过一个最小二乘滤波器的输出,则便是这个最佳滤波器的增益(即最小二乘滤波器系数),因此,把该滤波器称为增益滤波器.图9最小二乘增益滤波器的几何说明)(nx)1(nx)(n)()(nne)(ne)(n)()()()(nnnnxxgP)}({nx)(nxP)(n)}({nx)()(nnxP)()()()(nnnnxxgP)()(nnxg)(nx)(n)(nx)(ngb)估计误差矢量与角参量在上述情况下,由对进行最小二乘估计的误差矢量为(148)式中,是对的正交投影矩阵.由角参量的定义可知,的当前分量等于该时刻的角参量(149)将式(148)代入上式,得即(150))(nx)(n)()()()()()(nnnnnnxxPPe)(nxP)}({nx)(ne)()()(),()(1nnnnnexP)()(),()(),())()()((),())()()((),()(1nnnnnnnnnnnnnnxgxgPx21cos)()(1)(nxngn参见式:(3)(3),(3)(3)xxP由上式得到(151)可以看出,增益滤波器的增益与一样,也是两个子空间与之间夹角的一种度量.c)维情况这时,数据子空间为,相应的投影矩阵为,将一维的式(147)推广,得(152)式中,称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量,权矢量).上式两边同乘以,可进一步得到(153)其中,是增益滤波器的横向滤波算子.上式说明,增益矢量可以通过作用于单位现时矢量来得到.2sin)()(),()()(nnnnxngxg)(ng)(1n)}({nx)}1({nxM)}({1,0nMX)(1,0nMP)()()()(1,01,0nnnnMMPgXM)(nMg)(11,0nMX)()()(1,0nnnMKgM)(1,0nMK)(nMg)(1,0nMK)(n维时的角参量为(154)式中,(155)M)()(1)()(),()(T1,0nnnnnnMMMMgxPT)1()1()()(MnxnxnxnMx[小结]由上得到4种滤波器的权矢量(或预测系数矢量,增益矢量)的计算公式:最小二乘横向滤波器前向预测误差滤波器后向预测误差滤波器增益滤波器以上权矢量的时间更新,皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.)()()(1,0nnnMMdKw)()()(,1nnnMMxKf)()()(1,0nznnMMMxKb)()()(1,0nnnMKgMwM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到2.横向滤波算子的时间更新(1)子空间的横向滤波算子的更新设是(行)(列)数据矩阵,则横向滤波算子定义为又设:列矢量;由的个列矢量张成的维子空间;的投影矩阵;对的正交投影矩阵;将附加到的最后一列,构成的维新矩阵;由的个列矢量张成的维矢量空间;的投影矩阵;对的正交投影矩阵;的横向滤波算子.},{uUU,uKUnMT1,UUUKU参照式(127)u1n}{UUMMUP}{UUP}{U),(uUuU)1(Mn},{uU),(uU)1(M)1(MU,uP},{uUU,uP},{uUU,uK},{uU可以证明，横向滤波算子具有以下性质:(a)(b)(c);(d)(e)(f)U,uKU,uU,uU,uKPKIuUKU,u),(T1M0MMU,uIUK11MU,uuK0T1M0UUU,uKPKUUUUUU,uPuuPu,PuKKKT1T11M0UUUUUUu,PuuPu,PuKKKT1T11M0(2)横向滤波算子的更新(a)的时间更新关系式令于是有由的个列矢量张成的维子空间为设子空间的投影矩阵为;横向滤波算子为.由时刻投影矩阵递推时刻投影矩阵的公式如下:)(1,0nMK)()(1,0nnMuXU)](),([(),(1,0nnMXuU),(uU)1(M)1(M)}(),({},{1,0nnuUMX)}(),({1,0nnMXU,uP)(),1,0(,nMuUKK)1(n)1(1,0nMPn)(),1,0(nMP1)1()(T)1(11)1(1,0),1,0(nnMMnn00PP参见式:1T1(1)()1nnnnUU,PP00上式两边左乘,得到(156)注意到:上式右边分块矩阵的最后一列是列矢量,利用横向滤波算子的性质(c),有设与分块矩阵其余部分相乘后得到的矩阵的最后一行为,同时根据性质(a),有所以由式(3.11.32)得到横向滤波算子的时间更新关系式为:(157))(),1,0(nMK1)1()()()(T)1(11)1(1,0),1,0(),1,0(),1,0(nnMMMMnnnn00PKPK)(nUuP1)(1)(1),1,0(1)1(),1,0(MMnMnn00KK)(),1,0(nMK)1(Tny)()()(),1,0(1,0),1,0(nnnMMMKPK)(),1,0(nMK1)1()1()(T11,0),1,0(nnnMMMyKK0式中,yT(n-1)表示一个1n维矢量.同理可得横向滤波算子的时间更新关系式为:(158)3.FTF自适应算法中的时间更新FTF自适应算法的目的,是要解决权矢量的时间更新问题,为此要涉及,,等一系列参量的更新.(1)横向滤波器的更新[推导思路](a)利用横向滤波算子性质(e):式中,取,.1)1()1()(T1,1),1(nnnMMMbKK0式中,bT(n-1)表示一个1n维矢量.)(nMw)(nMg)(nM)|(nne)(nNwUUUUUU,uPuuPu,PuKKKT1T11M0)(1,0nMXU)(nu(b)其它有关公式:[结论]由时刻递推计算时刻的权矢量的时间更新公式为(159)上式表明,在由递推计算时,还必须事