范德蒙行列式的证明及其应用

-1-范德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2范德蒙行列式的定义及证明2.1定义-2-行列式1121121111nnnnnaaaaaa(1)称为n阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)nn错误!未找到引用源。阶范德蒙行列式等于naaa,,21这n个数的所有可能的差)1(nijaaji错误!未找到引用源。的乘积.2.2范德蒙德行列式的证明2.2.1用递推法证明12112211120011111221111aaaaaaaaaaDnnnnnnnnrarrarrarnnnnn)()()()()()(12132312221133122123121aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnc展开按上式112312)())((nnDaaaaaa仿上做法,有2224231)())((nnnDaaaaaaD再递推下去,直到11D.故)()()())()(())((112242311312jinijnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD2.2.2用Laplace定理证明已知在n级行列式-3-nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111中,除第i行（或第错误!未找到引用源。列）的元素ija以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace定理得:此行列式等于ija与它的代数余子式ijA错误!未找到引用源。的乘积ijijAaD,在113121122322213211111nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a倍,得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn根据上述定理)()()()()()(1213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn错误!未找到引用源。把每列的公因子提出来,得223223211312111)())((nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。等式右边的第二个因子是错误!未找到引用源。阶行列式,用1nD表示,则上式中111312)())((nnnDaaaaaaD同样地,可以得到2224231)())((nnnDaaaaaaD-4-此处2nD是一个2n阶范德蒙行列式,一直继续下去,得)()())(())((122311312nnnnnaaaaaaaaaaaaD)(1jinijaa3范德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当3n时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例1.设错误!未找到引用源。是数域F上的错误!未找到引用源。维向量空间,任给正整数nm,则在V中存m个向量,其中任取n个向量都线性无关]7[.证明:因为nFF,所以只须在nF中考虑.取错误!未找到引用源。)3,,3,3,1(121na))3(,,3,1(2122na))3(,,3,1(1mnmma令错误!未找到引用源。.1,)3()3(31)3()3(31)3()3(3121121212222111mkkkDnknkkknkkknknnnnk错误!未找到引用源。121212)3()3(31)3()3(31)3()3(31222111nkkknkkknkkknnnnD是范德蒙行列式且0nD,所以nkkkaaa,,,21线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时-5-比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例2.设数域F上的n维向量V的线性变换有个互异的特征值n,,,21,则与可交换的V的线性变换是12,,,,ne的线性组合,这里e为恒等变换.证明:由题意,由于是n维向量V上的线性变换,由线性变换的定义得niiii,,2,1,)(,假设FkkVi|是的不变子空间.根据不变子空间的特点,是与可交换的线性变换.令112210nnxxxex且nikiii,,2,1,)(,则有以下方程组111012121021111101nnnnnnnnnxxxkxxxkxxxk（2）由于线性方程组的系数矩阵的行列式)(j1jiniD,所以方程组（2）有唯一解,即就是12,,,,ne这n个向量线性无关,题目得证.3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例3.设nnxcxccxf110)(.若()fx至少有1n个不同的根,则0)(xf.证明:取121,,,nxxx为()fx的1n个不同的根.则有由齐次线性方程组000121211022222101212110nnnnnnnnnxcxcxccxcxcxccxcxcxcc(3)其中nccc,,,10看作未知量.且0)(1jinijxxD.由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而010nccc.即)(xf是零多项式.3.4微积分中的应用-6-例4.设)(yf在],[ba上连续,在),(ba内存在2阶导数]2[.证明:在bxa上有)(21)()()()(''cabafbfaxafxff.这里),(bac证明:在],[ba上构造函数)(1)(1)(1)(1)(2222bfbbxfxxafaayfyyyF是范德蒙行列式,而函数)(yF满足中值定理条件:因)()()(yFxFaF.由中值定理,在),(ba内存在bxxxa21，使0)()(2''1''xFxF.故存在),(21xxc,使0)(''cF.即就是0)(1)(1)(1)(200)(222''''bfbbxfxxafaacfcF.按行列式定义展开,即得所证.3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题.(1)用提取公因式计算行列式例5.计算nnnnnnnD222333222111解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至n,由行列式的相关性质,得-7-1212121333122211111321nnnnnnnnD仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为n阶范德蒙行列式,故)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!nnnnnDn!1!2)!2()!1(!nnn(2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算1111)()()1()1(1111nbbbnbnbbbbbDnnnnnnn分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把1n行依次与上面的每一行交换至第1行,第n行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过2)1(12)2()1(nnnnn次交换得到1n阶范德蒙行nnnnnnnnnnbbbnbbbnbbbD)()1()()1(1111)1(1112)1(1)]1([)]1(2)[()2)(1()1(2)1(nbnbbbbnbbbbbnn!1knk(3)用拆行（列）计算行列式-8-n阶行列式中的i行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式3424332332223121244233222211432111111111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(