线性事变系统

线性时变连续系统状态方程的解(1/2)2.4线性时变连续系统状态方程的解严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随时间变化。如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子器件的老化使其特性也发生变化;火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变系统处理。线性时变连续系统状态方程的解(2/2)下面将讨论线性时变连续系统状态方程的求解问题,依次讨论:线性时变连续系统齐次状态方程的解线性时变连续系统的状态转移矩阵非齐次状态方程的解线性时变连续系统齐次状态方程的解(1/3)2.4.1线性时变齐次状态方程的解当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程为齐次状态方程,可表示为x’(t)=A(t)x(t)这里讨论其满足初始状态00()()ttttxx的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性,假设在系统的时间定义域[t0,tf]内,A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。线性时变连续系统齐次状态方程的解(2/3)下面证明时变系统齐次状态方程的解为x(t)=(t,t0)x(t0)式中,(t,t0)为时变系统的状态转移矩阵,它定义为如下矩阵微分方程的解。ItttttAtt),(),()(),(0000满足如下的矩阵微分方程和初始条件’(t)=A(t),(t)|t=0=I线性时变连续系统齐次状态方程的解(3/3)证明对解表达式x(t)=(t,t0)x(t0)求导,则有且x(t0)=(t0,t0)x(t0)=x(t0)说明式x(t)=(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。根据微分方程解的唯一性，所以它是齐次状态方程的解。时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ(t,t0)决定。ItttttAtt),(),()(),(0000)()()(),()()(),()(0000ttAttttAttttxxxxx(t)=(t,t0)x(t0)x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)对比线性定常系统非齐次状态方程的解(1/8)2.4.2非齐次状态方程的解当具有外加输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)该状态方程在初始状态为00()()ttttxx下的解,也就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态的运动轨迹。非齐次状态方程的解(2/8)下面将证明当输入u(t)为分段连续时,该非齐次状态方程的解为：证明先设该非齐次状态方程的解为显然,有式中,η(t)为待定函数。ttBttttt0d)()(),()(),()(00uxx)(),()(0ttttηx)()(00ttηx非齐次状态方程的解(3/8)将所设的解代入该状态方程的左边,有将所设的解代入该非齐次状态方程的右边,有因此有即0()()()()()(,)()()()AttBttAttttBttxuηu0(,)()()()tttBttηu00000()[(,)()](,)()(,)()()(,)()(,)()ttttttttttAtttttttxηηηηη)()(),()()(),()(001ttBttttBtttuuη非齐次状态方程的解(4/8)对上式两端积分,可得故该非齐次状态方程的解为当系统的状态空间模型中输出方程为y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)时,系统的输出为：00000000()(,)()(,)(,)()()d(,)()(,)()()dtttttttttttBttttBxuxu000()()(,)()()dtttttBu000()()(,)()()(,)()()d()()tttCttttCttBDttyxuu非齐次状态方程的解(5/8)比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式:定常系统00()()()()dttttBxxu时变系统初始状态的影响初始时刻后输入的影响,为脉冲响应函数与输入的卷积000()(,)()(,)()()dtttttttBxxutttAttABtt00d)(e)(e)()(0)(uxx非齐次状态方程的解(6/8)与线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解比较可知,线性时变连续系统与线性定常连续系统的解的结构和形式相同,都为状态的零输入响应和零状态响应的和。线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解可视为线性时变连续系统相应的解的一种特殊形式。在A(t)为时不变A时,时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)即变为定常系统的状态转移矩阵Φ(t-t0)。由此可以看出引入状态转移矩阵的重要性。只有引入状态转移矩阵,才能使时变系统和定常系统的求解公式建立统一的形式。线性时变连续系统的状态转移矩阵(1/1)2.4.3线性时变系统的状态转移矩阵下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:状态转移矩阵的求解状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的求解(1/7)1.状态转移矩阵的求解对于线性时变连续系统,状态转移矩阵Φ(t,t0)是如下矩阵微分方程和初始条件’(t)=A(t)(t),(t)|t=0=I的解,它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。对比线性定常系统’(t)=A(t),(t)|t=0=I为了求得状态转移矩阵Φ(t,t0)的表达式,可在时间域内对该矩阵微分方程积分,即有tttAItt010110d),()(),(状态转移矩阵的求解(2/7)如果将上式中积分号内的Φ(1,t0)再按上式展开,则有然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式tttAItt010110d),()(),(10202201d),()(),(ttAIt......dddd),()()()()(dd)()(d)(ddd),()()()(d)(dd),()()(),(02030100100020100010123404432112211112303321111202210ttttttttttttttttttttAIAAAAAAItAIAAAItAIAItt状态转移矩阵的求解(3/7)于是,可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵(t,t0),即上式就是线性时变连续系统的状态转移矩阵的计算公式。在一般情况下,它不能写成封闭的解析形式。在实际应用此公式时,可按一定的精度要求,用数值积分计算方法去近似计算t1时刻的Φ(t1,t0)的值。1000120001230000011122112332112344321(,)()d()()dd()()()ddd()()()()ddddttttttttttttttttIAAAAAAAAAA状态转移矩阵的求解(4/7)当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件(矩阵乘法可交换条件)时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为的指数形式。也就是说,只有A(t)与A()d满足矩阵乘法的可交换条件时,上述指数表达形式的解才成立。下面对这个条件给予证明。00()()d()d()ttttAtAAAtttAtt0d)(exp),(0状态转移矩阵的求解(5/7)将该指数表达形式的右边展开成级数形式,有如果上式是系统的状态转移矩阵,它必须满足状态转移矩阵的定义式。于是,将上式的两边对时间取导数,根据状态转移矩阵的解表达式,状态转移矩阵Φ(t,t0)的导数可表示为00021exp()d()d()d2!ttttttAIAA000d11exp()d()()()d()d()d22ttttttAAtAtAAAtt0022(,)()()()dttttAtAtA状态转移矩阵的求解(6/7)比较上述两式可知,只有A(t)和A()d满足乘法可交换条件时,时变系统的状态转移矩阵可以表示为指数形式。因此,A(t)满足矩阵乘法可交换条件下，线性时变连续系统齐次状态方程的解也可表示为指数形式,即00()exp()d()tttAtxx状态转移矩阵的求解(7/7)上述A(t)和A()d可交换条件一般较难以检验是否成立。事实上,根据该可交换条件有上式对于任意时间变量t和t0都成立的充分必要条件是:对于任意的t1和t2,下式成立A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1)所以,实际上较易于检验的条件可取代A(t)和A()d可交换条件,成为时变系统的状态转移矩阵的解可表示为指数矩阵形式的充分必要条件。0()()()()d0ttAtAAAt状态转移矩阵的性质(1/8)2.状态转移矩阵的性质时变系统的状态转移矩阵的性质如下。1)Φ(t,t)=I对比Φ(0)=eA0=I2)传递性(t2,t1)(t1,t0)=(t2,t0)对比Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)状态转移矩阵的性质(2/8)证明:由于x(t2)=(t2,t0)x(t0)且x(t2)=(t2,t1)x(t1)=(t2,t1)(t1,t0)x(t0)故有(t2,t0)x(t0)=(t2,t1)(t1,t0)x(t0)由于上式对任意初始状态x(t0)都成立,所以有(t2,t0)=(t2,t1)(t1,t0)状态转移矩阵的性质(3/8)3)可逆性-1(t,t0)=(t0,t)对比[Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2)证明由性质1)和2),有(t,t0)(t0,t)=(t,t)=I故-1(t,t0)=(t0,t)成立。状态转移矩阵的性质(4/8)4)对角线矩阵的状态转移矩阵。如果时变的系统矩阵A(t)如下表示的对角线矩阵。A(t)=diag{a11(t)a22(t)…ann(t)}式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ(t,t0)为如下对角线矩阵：(t,t0)=diag{11(t,t0)22(t,t0)…nn(t,t0)}式中,ii(t,t0)(i=1,2,…,n)为满足如下标量微分方程的状态转移函数即0000(,)()(,)1,2,...,(,)1iiiiiiiittatttinttttiiiiatt0d)(exp),(0状态转移矩阵的性质(5/8)5)块对角矩阵的状态转移矩阵。如果时变的系统矩阵A(t)如下表示的块对角矩阵。A(t)=block-diag{A1(t)A2(t)…Al(t)}式中,Ai(t)(i=1,2,…,l)为mi×mi维的分块矩阵函数,则A(t)的状态转移矩阵(t,t0)为如下块对角矩阵：(t,t0)=block-diag{1(t,t0)2(t,t0)…l(t,t0)}式中,i(t,t0)(i=1,2,…,l)为满足如下矩阵微分方程的状态转移矩阵0000(,)()(,)1,2,...,(,)iiiittAtttilttI