线性代数-2-5-1矩阵的初等变换

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.引例)1(一、消元法解线性方程组求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程．2解)(1B)1()(2B2132,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221323314,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342522133422,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232443用“回代”的方法求出解：于是解得33443231xxxxx.3为任意取值其中x方程组的解可记作或令,3cx,3344321cccxxxxx.为任意常数其中c30340111cx即（2）小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij（与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk二、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或等价关系的性质：；反身性）（AA1A;B,BA2则若对称性）（C.AC,BB,A3则若）传递性（．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r331000620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．000003100030110401015B214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵BF.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.AF三、小结1.初等行(列)变换;1jijiccrr;2kckrii.3jijikcckrr初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质;1反身性;2对称性.3传递性2.A初等变换B.~BA思考题已知四元齐次方程组及另一00:4221xxxxI四元齐次方程组的通解为II.,1,2,2,10,1,1,02121RkkkkTT.,;,?说明理由有若没求出来若有是否有非零公共解与问III思考题解答解得的通解代入将III0202221212kkkkkk.21kk的公共解为与故IIITTTkkk1,1,1,11,2,2,10,1,1,0221所有非零公共解为.01,1,1,1kkT