线性代数1-1.

线性代数授课教师:李嵘经管类上海金融学院邮箱:[e-mail]线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程----DavidC.Lay如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。----瑞典数学家LarsGarding最基础的数学要求：微积分、线性代数、概率论与数理统计.•广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域.•应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程.•应用于金融数学，资产定价，最优化方法，密码学，投资组合.•线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！教材：复旦大学出版社，费伟劲主编；参考文献：高等代数，北京大学数学系，高教出版社线性代数（理工类），同济大学出版社线性代数及其应用，DavidC.Lay，机械工业出版社公共邮箱：[e-mail]:math123作业：一周交一次(办公室实验楼221，周二中午以前)要求：全班用统一型号作业本(两个)；按学号排好序；考试：平时成绩30%+期末70%平时成绩：作业、考勤占70%，期中考试占30%序号学号姓名平时成绩1期中考试平时期末总成绩182011121112王晓璠10085967682192011121113夏再萍10093989394.5202011121114王蕾100889610098.8662011121219李超颖9769899089.7672011121220翟天赐10075939896.5682011121221孙蕾蕾9781928385.7772011121231巩振超9765879290.5782011121232曹顺嘉9450814958.6792011121233吴磊10046848383.3802011121234杨佳臻10040824958.9812011121235汤成9443797576.2822011121236张逸飞10062896672.9832011121237高润泽9749838181.6842011121238张宁10039824556.1代数：主要研究数的代数性质；代数性质：关于数的加减乘除等运算的性质通常，称为数的代数性质；“线性”：一元一次，二元一次，三元一次方程组中，未知量的次数为“一次的”；解方程是代数中一个基本的问题.什么是线性代数？目录第一章行列式第二章矩阵第三章向量空间简介第四章线性方程组第一章行列式§1.1n阶行列式§1.2行列式的基本性质§1.3行列式按一行（列）展开§1.4克莱姆法则用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa）（§1.1阶行列式n，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.;212221121122211baabxaaaa）（.,22221211212111bxaxabxaxa由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)4(22211211aaaa定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即.2112221122211211aaaaaaaaD其中称为行列式的元素,i、j分别表示元素所在行，所在列.ija2!项的代数和，又称为行列式的展开式，它可以用“对角线法则得到”11a12a22a21a主对角线次对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算注：主对角线上两个元素的乘积冠以正号；次对角线上两个元素的乘积冠以负号，且每一项均为不同行不同列的数相乘.二行二列22=4个数的排列例1若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式144)3(121432.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.2211112babaD，211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax则此方程组的解用二阶行列式可以表示为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx时，当021122211aaaa二元线性方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax例2.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721二、三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.沿次对角方向沿主对角方向2-43-122-4-21D计算三阶行列式例3解按对角线法则，有D)3(12)3(2)4(84243264.14)2(214)2()4(411)2()2(2.094321112xx求解方程例4解方程左端1229184322xxxxD,652xx解得由052xx3.2xx或04942321110994332111或问题：1为什么n(3)阶行列式展开不能使用对角线法则；2在行列式展开中到底哪些项为正，哪些项为负.321,312,231,213,132,123引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？共有6123一、概念的引入下面将给出n阶行列式的定义，先介绍有关排列与逆序等概念.分别为排列二、排列及其逆序数nPPP,,,21n,,2,1iP定义1.1由前n个自然数组成的有序组称为一个n级排列，其中为中的某个数，i表示这个数在n级排列中的位置.n,,2,1例1、2、3、4四个自然数2134一个四级排列4312一个四级排列4,3,1,24321PPPP2,1,3,44321PPPP注：根据定义，这两个四级排列是不同的.,n=4我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数显然，所有n级不同排列的总数是!123)2()1(nnnn在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序，一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.定义1.2)(21ntsPPPPPtsPPn级排列的逆序数记为)(ntsPPPPP21同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题32514111故此排列的逆序数为例如排列32514中，32514逆序逆序逆序+1+15131)32514(计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和,即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.定义1.3(排列的奇偶性)如上例计算方法3251411+1+11分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3251401031于是排列32514的逆序数为13010)32514(.55的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;32514例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010)217986354(18此排列为偶排列.540100134321212nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1)321)2)(1((nnnn2n32121nnn1n2n对换的定义定义1.4在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的方法叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．mlbbbaaa11例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab对换与排列的奇偶性的关系定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为mlbbabaa11对换与abmlbbbaaa11除外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba当时，baab的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少