线性代数1

第一章行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。§1.1二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组22221211112111bxaxabxaxa(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22–a12a21≠0时，有211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211aaaaaaaa为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成222121212221ababbaab，221111211211babaabba，如果记22211211aaaaD，2221211ababD，2211112babaD则当D≠0时，方程组(1)的解(2)可以表示成2221121122212111aaaaababDDx，2221121122111122aaaababaDDx，(3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组231422121xxxx解：这时0214323142D，5243132411D，3112221122D，因此，方程组的解是2511DDx，2322DDx，对于三元一次线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例25321342121062012242301325)4(123223)4(211532令333231232221131211aaaaaaaaaD3332323222131211aabaabaabD，3333123221131112abaabaabaD，3323122221112113baabaabaaD．当D≠0时，(4)的解可简单地表示成DDx11，DDx22，DDx33(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组423152302321321321xxxxxxxxx解：28231523112D，132345211101D，472415131022D，214311230123D．所以，281311DDx，284722DDx，43282133DDx．例4已知010100abba，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解：2210100baabba，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．§1.2排列与对换在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．定义1由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个n级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n级排列1234…n称为标准次序排列．定义2在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前面(isit)，则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N(i1i2…in)．例如，在4级排列3412中，31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7．容易看出，标准次序排列的逆序数为0．定义3如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定义4在一个n级排列i1…is…it…in中，如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)．如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214．并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn显然对数a1，a2，…al，b1，b2，…，bm和c1c2…cn来说，并不改变它们的逆序数．但当ij时，经过i与j的对换后，排列的逆序数增加1个；当ij时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．再讨论一般情况，设排列为a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn将i与j作一次对换，则排列变为a1a2…aljb1b2…bmic1c2…cn这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，…，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2…alb1b2…bmijc1…cn然后将数j与它前面的数i，bm…，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．定理2任一n级排列i1i2…in都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性．证明：对排列的级数用数学归纳法证之．对于2级排列，结论显然成立．假设对n–1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立．若in=n，则根据归纳假设i1i2…in–1是n–1级排列，可经过一系列对换变成12…(n–1)，于是这一系列对换就把i1i2…in变成12…n．若in≠n，则先施行in与n的对换，使之变成i1'i2'…'i'n–1n，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n也可经过一系列对换变成i1i2…in，因此结论成立．因为12…n是偶排列，由定理1可知，当i1i2…in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2…in具有相同的奇偶性．§1.3n阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n阶行列式的定义．已知二阶与三阶行列式分别为2112221122211211aaaaaaaa312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1)二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义．定义1由排成n行n列的n2个元素aij(i，j=1，2，…，n)组成的nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式．它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnnnnnaaaaaaaaa212222111211＝njjj21nnnjjjjjjNaaa212121)()1((1)其中njjj21表示对所有的n级排列j1j2…jn求和．当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n=1时，一阶行列为|a11|=a11．但对角线法则对高阶行列式不适用如当n=4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaa表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaa４４４＝jjjjjjjjjjjNaaaa213214321321)()1(例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即–a14a23a31a42是上述行列式中的一项．为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题．例1在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因N(23514)=4故这一项应取正号．例2写出4阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项．解：包含因子a11a23项的一般形式为４４jjjjNaaaa3433