线性代数24矩阵的初等变换与矩阵的秩

2.4矩阵的初等变换与矩阵的秩1.矩阵的初等变换2.矩阵的秩定义2.16下列三种变换称为矩阵的初等行变换:1交换两换法变置换行的位:2c以非零数行倍法变换乘某一:3k把某一行的倍加到消上法变换另一行:,,记做行交换第jijirr:,记做行乘第以ikicr:,记做行上倍加到第行的把第ikjjikrr此时变换的是第i行,第j行没有变化!同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．2.4.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换初等列变换初等行变换通常称(1)换法变换(2)倍法变换(3)消法变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或I三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.1.2.c03.k交换矩阵的两行或两列；以数乘矩阵某行或某列；以数乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去．AAA2.4.2初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.定义2.17,()ijIijrr对调中第两行，即，得初等方阵11011(,)11011Pij行第i行第j(1)交换I的两行或两列，得初等对换矩阵。0()(()).icircPic以数乘单位矩阵的第行，得初等矩阵11(())11Picc行第i(2)以数0c乘I某行或某列，得初等倍乘矩阵。()[()ijjikIjirkrkIijckc以乘的第行加到第行上或以乘的第列加到第列上，11(())11kPijk，行第i行第j(3)以数0k乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩阵。1(,)(,)ijrrPijPij变换的逆变换是其本身，则；111(())(());iircrcPicPic变换的逆变换为，则1()(())(()).ijijrkrrkrPijkPijk变换的逆变换为，则，，初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。定理2.3阶初等矩阵。乘一个相应的的右边相当于在施行一次初等列变换，对阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在施行一次初等行变换，矩阵，对是设nAAmAAnmA证明：具体验证即可行上，即倍加到第行的第施行倍加变换，将按行分块，对设ikjAAA另两种情形同理可证(())PijkAmjik11111mjjik11ijirkrjmA1ijjmkA0,A0.PicAicAPicic表示的第行乘表示的第列乘,.PijkAAjkiAPijkAikj，表示的第行乘加到第行上，表示的第列乘加到第列上,A,,A.PijAijAPijij表示的第行与第行对换表示的第列与第列对换一般记法：2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形定义2满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：（1）若有零行，则该行下方所有行元素均为零；(2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为零。行rbbbr000000**000**00***0***2100DCC是上三角矩阵定义行最简矩阵是指在阶梯形中(1)非零行第一个非零元素为1，(2)每一行第一个非零元素1所在的列中其它元素都为零，即：行r000000**1000**000**010**00100rIDrIr是阶单位矩阵定理2.4对任何矩阵Amn，总可以经过有限次初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。定理2.5任何一个矩阵A都与一个形式为000rImn100000100000000000100000000D的矩阵等价。（r≤min(m,n),D称为矩阵A的标准形。2.4.3初等变换求逆矩阵为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们首先需要建立如下的定理。,:nnAn设矩阵是阶方阵那么下列各命题等价定理2.6n阶矩阵A可逆的充要条件是A的标准形是In.(1)nnA是可逆矩阵。(4)A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。由，就有1AAI11212()()ttPPPAIPPPIA，上面第一式表示经有限个初等行变换化为单位矩阵，第二式表示经这些初等行变换变为.用分块矩阵形式把上两式写成1AAI112()tPPPIIA或1AIIA初等行变换由定理2.6知道若A可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，即112tAPPP.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵I11()()AABIAB)(BABA1即初等行变换这表明如果对矩阵(A,B)施行初等行变换，当把A化为In时，B就化为A-1B．例10求矩阵X，使AX=B，其中343122321A341352B解如果A可逆，那么X=A-1B．，343431312252321BA1226209152052321~121323rrrr311009152052321~2331rrr311006402041021~313235rrrr311003201023001~2122rrr所以313223X.1CAY即可得,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求CACAYAC1nICA列变换例2.18求解矩阵方程AX=A+X,其中010312022A解把所给方程变形为(A-I)X=A21232120220120220(,)203213011010011010043233rrrrAIA23133231224(1)2102200100226011010010203001213001213rrrrrrrrr312302622X2.4.2矩阵的秩k阶子式：在mn矩阵A中任取k行与k列(kmkn)位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式例如mn矩阵A的k阶子式有knkmCC个D是A的一个二阶子式(取1、2行，2、4列）33245066254348223131A定义2.19矩阵A中不为零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r(A).规定：零矩阵的秩是0，从而A=0当且仅当r(A)=0.(3）矩阵A的秩为r当且仅当A中存在非零的r阶子式，而所有的r+1阶子式（若存在）均为零。由定义不难得到：()min{,}rAmn（1）若A是m×n矩阵，则A的秩不会大于矩阵的行与列数。即()()()()TrArArkArAk，，为非零数（2）例2.17解中，在A，阶子式只有一个的又AA3310.-21，且0A()2.rA310211101A求矩阵的秩例2.182100002124,0001200000AA设求矩阵的秩．解A中有一个3阶子式而所有4阶子式均为零，所以r(A)=3.21002240001问题：经过变换矩阵的秩变吗？矩阵秩的计算因为对任何矩阵都可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩。定理2.8初等变换不改变矩阵的秩，即若A经过初等变换化成B,则r(A)=r(B).推论2.5设A是m×n矩阵，P,Q分别是m阶与n阶可能矩阵，则r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)推论2.6设A是m×n矩阵，r(A)=r,则A的标准形为000rI求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.20问t为何值时,矩阵A有最小秩，并求这个秩.其中12369246At解由于21313212312369300246000rrrrAtt所以r(A)≤2,要使的秩最小，必有t=-3，所以，当t=-3时，r(A)=1.