线性代数B-25矩阵的秩+习题s

任课教师:胡凤珠秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念．秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879年首先提出的．矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在性、向量组的线性相关性等问题的重要工具．矩阵的秩课本§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩的概念二、矩阵的秩的求法nmrOOOEFmnA~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行的行数这个数便是矩阵A的秩.一、矩阵的秩的概念nmrOOOEFmnA~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可以借助行列式来定义矩阵的秩．一、矩阵的秩的概念11214211122311236979A11214211122311236979A1、k阶子式例如1131是A的一个二阶子式.说明mn矩阵的k阶子式有个.CknCkm(1,1)kmkn定义1在mn矩阵A中任取k行k列位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式.故r(A)=0A=O．规定等于0.零矩阵的秩矩阵A的秩，记作r(A)或R(A)或rank(A)或秩(A).定义2设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0那么数r称为矩阵A的秩D称为矩阵A的最高阶非零子式.2、矩阵的秩提示例1和例2综合求矩阵A和B的秩其中174532321A00000340005213023012B.在A中容易看出一个2阶子式013221A的3阶子式只有一个|A|经计算可知|A|0因此r(A)2.解以3个非零行的首非零元为对角元的3阶子式400230312是一个上三角行列式它显然=24不等于0因此r(B)3.B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵其所有4阶子式全为零.对于行阶梯形矩阵它的秩就等于非零行的行数.3、矩阵的秩的性质(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0则r(A)s若A中所有t阶子式全为0则r(A)t.(2)若A为mn矩阵则0r(A)min{mn}.r(Am×n)min{mn}(4)对于n阶矩阵A当|A|0时r(A)n当|A|0时r(A)n.可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。(3)r(A)r(AT)，111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式?有没有等于0的r阶子式?解答：可能有.010000100001A0000010001000例如r(A)3.是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式.补充例3定理1若A与B等价则r(A)r(B).根据这一定理为求矩阵的秩只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.二、矩阵的秩的求法问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。即初等变换不改变矩阵的秩.因为解41461351021632305023A例4求矩阵A的秩并求A的一个最高阶非零子式其中41461351021632305023A.所以r(A)3.为求A的最高阶非零子式考虑由A的1、2、4列构成的矩阵1615026235230A.又因A0的子式0502623523所以这个子式是A的最高阶非零子式.00000840001134041461~行变换161041~004000可见r(A0)＝3,行阶梯形矩阵例5即AB与B等价例6小结(2)初等变换法1.矩阵的秩的概念2.求矩阵的秩的方法(1)定义法把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.寻找矩阵中非零子式的最高阶数;P67:31练习题P67:31,32111111xAxAx31.设三阶矩阵，试求矩阵的秩.P67:31练习题P67:31,32111111xAxAx31.设三阶矩阵，试求矩阵的秩.P67:31练习题P67:31,32111111xAxAx31.设三阶矩阵，试求矩阵的秩.继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。P67:32练习题P67:31,32123121254011311042025kAAAk32.设为的矩阵，，且的秩为3，求.P67:32练习题P67:31,32123121254011311042025kAAAk32.设为的矩阵，，且的秩为3，求.111214212224313234414244-12D=01aaaaaaaaaaaa132343(1)(1)52(1)301(1)415D解：P21,2P21,5(3)1+1-（1）1112n-1n-112-112n+1...000...00..............................=(1)y(1)00...00...00...00...0...00............=+(1)(1)............0...=+(1)nnnnnxyyxxyxyxyxyxyyxyxy原式P21,5(3)习题1-5,P25:5(4)P40:3(3)、(4),(3)4P40-46P40-61131122123213312332312312323232,2,453xyyyzzxyyyyzzxyyyyzzzzzxxx已知两个线性变换求，，到，，的线性变换..,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay1212,,,,,,nmxxxyyy称为从变量到变量的线性变换.1212,,,,,,nmnxxxmyyy个变量与个变量之间的关系式.ija其中（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）为常数(2.3)作业：P46:1(1),7(1)；P66:18P46:1(1),7(1)033110,2,.123AABABB设求容易出错P66:18115.AAA可逆矩阵性质（）若矩阵可逆，则1**1,,32.2AAAAA若三阶矩阵的伴随矩阵为已知求P66:22843443,.2022oAAAo设求及211244122343434,=43434333+4434-43=43-3444+3350=05AAAA则可知的值，同理可计算的值.P60:4(4),3-20-102211-2-3-20121用初等变换法判定下列矩阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵.（4）1AEEA变换行初等；若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1P60:4(4),1AEEA变换行初等；若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1P605(2)初等变换法求解矩阵方程:前提A可逆！1.AEBBA变换列初等XAB，