线性代数基本定理

线性代数基本定理一、矩阵的运算1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A也可以不等于O 11-1-1æèçöø÷1-1-11æèçöø÷=0000æèçöø÷2.矩阵不可交换 (A+B)2=A2+AB+BA+B2 (AB)k=ABABABAB...AB3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T=AT+BT (lA)T=lAT4.反称矩阵对角线元素全为04.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a1,a2,...,an))-1=diag(1a1,1a2,...,1an) (kA)-1=1kA-1方法1.特殊矩阵的乘法A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@BÛR(A)=R(B)任何矩阵等价于其标准型3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换4.给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如： A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如：如红线所示：左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间1-1003-1000100002-1éëêêêêùûúúúú1000-1000013-10214éëêêêêùûúúúú至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。求逆：如果均可逆，若，则反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。求转置：块转置，每一块里面的也要转置6.把普通线性组合式写成矩阵形式二、行列式的计算计算一般行列式时需注意：A．代数余子式的正负B．初等变换用等号，行列式的值可能变化1.特殊形状行列式上下三角行列式、反上下三角行列式A1,A2,...,Amdet(kA)=det(A)det(AB)=det(A)det(B)块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）2.一般行列式的计算原则A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来其中，B点最容易被忽略掉！！！例题：已知abcd=1knAnnO*Bmm=Ann*OBmm=ABOAnnBmm*=*AnnBmmO=(-1)mnABdet(diag(A1,A2,...An))=det(Ai)i=1nÕ不用计算每一个行列式值为多少，观察发现此式正好得0D=a2+1a2a1a1b2+1b2b1b1c2+1c2c1c1d2+1d2d1d1=abcda11a21ab11b21bc11c21cd11d21d+1a2a1a11b2b1b11c2c1c11d2d1d13.范德蒙德行列式注意：范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到下或从左到右升幂不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是i和j的用处=(xi-xj)n³ij³1Õ4.几种n阶行列式的巧算办法：见笔记本5.克拉默法则：解决伴随矩阵问题的好方法。还要了解行列式按某行展开，如果对被展开行的每列来说，代数余子式乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为0，这样，线性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示）6.矩阵的秩：可以回到定义，秩为r，就说明至少存在一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式全为0三、空间解析几何1.易忽略的基础知识点的坐标的实质：过一个点向几个轴做垂面空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，可以为负。方向余弦：与坐标轴正方向的夹角的余弦投影：外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量混合积的记法，向量共面，混合积为0，abc，bca，cab这三种顺序结果都相同2．平面的方程点法式，一般式：xyz谁系数为0，就与哪个轴平行，D=0平面过原点,如果平面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴截距式点法式和点向式化为截距式，算截距即可三点式一般不用3.直线的方程点向式m,n,p哪个为0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直（在与那个轴平行的平面上）。直线的方向余弦就是方向向量的方向余弦。参数式用一个参数就可以确定x,y,z三个变量。用在求直线与平面交点中比较简单,其中(m,n,p)就是方向向量！还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线xa+yb+zc=1一般式用两个平面相交的方程组表示方程的转化参数式=点向式t的系数就是方向向量，加的常数就是定点。点向式=一般式目的是方便表示过这条直线的平面束。三个等号，两两联立，变成两个方程。加括号变为方程组即可参数式=一般式参数式先变为点向式，再变为一般式点向式=参数式令三个比例=t一般式=点向式方法1：任取一满足方程的点，为定点。平面法向量叉乘为x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt直线方向向量。方法2：任取两点，直接求方程一般式=参数式方法1：一般式先变为点向式，再变为参数式方法2（较简单）：对平面方程初等行变换，令自由变量=t4.位置关系和向量关系的转化平面与平面的位置关系平面与平面平行（包括重合）——如果重合，有：平面与平面相交——平面与平面垂直——法向量垂直平面与平面的夹角余弦（锐二面角）——法向量余弦的绝对值平面束——过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不包括参数后面的平面本身）A1A2=B1B2=C1C2A1A2=B1B2=C1C2=D1D2A1:B1:C1¹A2:B2:C2点到平面的距离平面与直线的位置关系直线与平面的夹角——直线平面法向量夹角余弦值的绝对值就是直线与平面夹角的正弦值直线与平面相交，平行，过平面——直线的方向向量与平面法向量内积不为0相交，否则如果把直线经过的定点满足平面方程，则线面平行，否则直线过平面直线与平面垂直——直线的方向向量与平面法向量平行直线与直线的位置关系两直线夹角——它们方向向量的夹角两直线平行（包括重合）——方向向量平行。如果不重合，则可在其中一条直线上任取两点，如果它们不都在或都不在另一条直线上，呢么两直线不重合两直线垂直——方向向量垂直两直线相交——两直线共面，不平行两直线间距离：先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方向向量，然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2向量上投影两直线共面，异面——两个定点（）构成的一个向量，两个方向向量。这三个向量混合积为0，就共面反之异面点到直线的距离M为线上一点为线上另一点，到直线的距离为：,想那个平行四边形四、n维向量空间预备知识：AX=b的矩阵表示和向量表示或者如下表示x0,y0,z0M1M0x1a1+x2a2+...+xnan=b定理1.有一个解——唯一一种表示方法，有无数解——无数表示方法2.向量组等价——其中一个向量组的每一个向量都可以用另外一个向量组表示等价具有自反性，传递性，对称性3.线性相关与线性无关1.包含0向量或相同向量的任意一个向量组线性相关2．两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例（，中共线）中，三个向量组线性相关，则它们共面3.1,2,…,n线性相关AX=0有非0解，当向量个数等R2R3R3线性表示，，，可由m21.2211有解向量方程mmxxx于向量维数时，det(A)=04.向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。（相当于未知量个数大于方程个数）5.对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则局部无关6.一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多的那个向量系数肯定不是0）7.向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组）8.再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变9.设向量组可由向量组线性表示，且线性无关，则（系数矩阵K为s*r，必须让方程的个数多一些）10．若向量组I可由向量组II线性表示则R(I)=R(II)，如果两个向量组等价，则它们的秩相等11.方程AX=b有解，则11.几个关于秩的四个不等式R(AB)=min(R(A),R(B))（和定理9的不等式有关）若,则R(A)+R(B)=n（和基础解系有关）R(A)=R(A)Am*nBn*t=OR(A+B)=R(A)+R(B)（也和定理9的不等式有关）R()=R(A)(方程的同解)12.AX=O的解向量的线性组合仍为AX=O的解向量方法一、判断向量组线性相关性：1.向量矩阵其次方程的解2.至少有一个向量能用其他向量线性表示，则向量组线性相关，否则线性无关二、判断向量组等价：A=KB，同时B=K’A，K为线性表示的系数矩阵，如果K为方阵且唯一（线性表示法唯一），看K是否可逆即可经典题：1.向量组线性无关,问常数l,m满足什么条件时,向量组线性无关．2.A为m*n矩阵，B为n*m矩阵，m=n，试证det(AB)=03.，求AX=b通解ATAa1,a2,a3133221,,aaaaaa+++ml()满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设321,,.1,3hhhbAXARmA==´,32121,1103210113三、向量组的最大无关组通过初等变换就可以求出最大无关组判断最大无关组向量组里的每一个向量均可由最大无关组表出五、特征值与特征向量定理1.如果 ai是A在特征值l下的几个特征向量，那么 ai的线性组合也是A在特征值l下的一个特征向量.线性组合组成特征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数k（多解）2.三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素3. l0是矩阵A的k重特征值，则 l0对应的线性无关的特征向量不超过k，特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之差，为n-R( l0I-A)4.如果a是A在特征值l下的特征向量，那么a是f(A)在特征值f(l)下的特征向量5.某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。（给特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题：A可逆A的任何一个特征值不为06.相似矩阵具有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式、相同的迹（解决代参数的矩阵相似问题很快）、相同的秩。7.A与B相似= Am与 Bm相似，多项式f(A)与f(B)相似8.n阶矩阵A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量不同特征值的特征向量线性无关，所有特征值的特征向量构成一个向量组，它们线性无关9.两两正交的非零向量组线性无关10.A为正交矩阵A的行列向量组都是标准正交向量组11.实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交应用这个定理，可以在已知其他两个特征值得特征向量的情况下，求出第三个特征值对应的特征向量AAT=ATA=I方法：1.证明某值（向量）是否为特征值（特征向量），可以带入等式 Aa=la，也可以带入特征方程。2.证明矩阵相似（充要）：1.（具体证明）证明两矩阵特征多项式相同（两矩阵特征值相同，说明他们相似于同一个对角阵，根据相似的传递性）2.（抽象证明）找可逆的P， P-1AP=L3.两个矩阵同时相似于第三个矩阵3.向量的内积表示: (a,b)=aTb=bTa4.判断n阶方阵是否可以对角化：有n个不同的特征值或n个线性无关的特征向量，则一定能对角化k重特征值下有k个特征向量，当然，只用验证k=2的情况，看矩阵的秩是否等于n-k4.线性无关向量组的标准正交化A-lIb2=a2-(a2,b1)(b1,b1)b1…再把单位化六、二次型二次型的合同变换：方法1.二次型化为标准型配方法：f(x1,