线性代数实践课

线性代数实践课论文学院：土木与交通学院专业：交通工程专业组员：肖瑞平201205215袁永波201205224王辉201205204矩阵特征值的应用实例摘要:矩阵特征值在很多领域都有广泛应用,本文主要研究了其中两方面的应用：第一是通过Fibonacci数列通项和常染色体遗传问题建模研究特征值在建模中的应用，第二是通过特征值在一阶线性微分方程组的求解问题研究特征值在微分方程中应用.关键字:Fibonacci数列,特征值,特征向量,特征多项式.Abstract:Thetheoryofmatrixeigenvaluehasawiderangeofapplicationsinmanyfields.Thispaperwillmainlyprobeintotheapplicationsoftwoofthem.ThefirstoneistheapplicationofeigenvalueinmodelbybuildingthemodelofformulaoftermoftheFibonacciFibonaccisequenceandautosomalinheritance.Thesecondoneistheapplicationofeigenvalueindifferentialequationbysolvingtheproblemoffirst-orderlineardifferentialequations.Keywords:fibonaccisequence,eigenvalue,eigenvector,characteristicpolynomial1引言矩阵特征值是高等数学的重要内容,在很多领域都有广泛应用,尤其在科学研究与工程设计的计算工程之中,灵活运用矩阵特征值能够使很多复杂问题简化.单纯的求解矩阵特征值是一件比较容易的事,但将特征值应用到其它领域就并非那么简单,也正因为此激发了本作者对矩阵特征值应用的兴趣.本文作者将简单介绍矩阵特征值在线性法建模和微分方程中的应用,通过一些实例让大家体会特征值在建模与微分方程求解中所起的作用.2矩阵特征值的相关概念定义1设是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数0,存在一个非零向量,使得0.那么0称为的一个特征值,而称为的属于特征值0的一个特征向量。定义2设A是数域P上一n级矩阵,是一个数,矩阵AE的行列式AE=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为A的特征多项式,其中矩阵A的特征多项式的根称为A的特征值.3矩阵特征值的应用3.1矩阵特征值在建模中的应用在数学模型的建立过程中可能伴随着比较复杂的高次计算,而矩阵的高次计算会给我们带来很多麻烦,但我们可利用矩阵特征值及其特征值向量可将较复杂的矩阵化为简单的对角阵,从而简化计算.3.1.1Fibonacci数列通项在1202年,斐波那契在一本书中提出一个问题:如果一对兔子出生一个月后开始繁殖,每个月生出一对后代,现有一对新生兔子,假定兔子只繁殖,没有死亡,问第K月月初会有多少兔子?以”对”为单位,每月兔子组队数构成一个数列,这便是著名的Fibonacci数列kF,,,5,3,2,1,0:kF,函数数列满足条件00F,11F,kkkFFF12.1.1.3试求出通项kF.解由Fibonacci数列满足1.1.3式可设1112kkkkkFFFFF.(*)令A=0111,k=kkFF1,0=01FF=01,则(*)可写成矩阵形式1k=kA3,2,1k.2.1.3由2.1.3式递归可得k=0kA3,2,1k.3.1.3于是求kF的问题归结为求k即求kA的问题.由AE=111=12得A的特征值1=251,2=251.4.1.3对应于21,的特征向量分别为:1X=11,2X=12.设P=1121,则1P=1221111.于是kA=Pkk21001P=kkkkkkkk1221211121211211211.所以kkFF1=k=kA01=211kkkk211211.5.1.3将4.1.3式代入5.1.3式得:kF=kk25125151.6.1.33.1.2常染色体遗传问题在常染色体遗传中,后代是在每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型,如果所考察的遗传特征是由两个基因A和a控制的,那么就可能有三种可能的基因对,分别称之为AA,Aa与aa.当一个亲体的基因型为Aa,另一个亲体的基因型也是Aa时,注意到后代均可以从Aa中等可能地得到基因A和a,于是运用概率中”对于互斥事件,概率具有可加性”以及”对于独立事件,概率具有可乘性”知AAP后代基因型为=2121=41,2121212121AaP后代基因型为,412121aaP后代基因型为.一般地,经过简单的概率运算,可以求得如表1所示的双亲基因型的结合及其后代后代基因型的概率分布表.表1双亲体基因型及其后代基因型的概率分布后代(第n代)基因型父体-母体(第1n代)基因型AAAAAaAAaaAAAaAaaaAaaaaaAA12104100Aa021121210aa00041211现有一种植物基因型为AA,Aa,aa,研究人员采用aa型植物与每种基因型植物相结合的方案,培育植物后代,求经过若干年后,这种植物任一代的三种基因型AA,Aa,aa的概率分布.解记na,nb,nc分别表示第n代的植物中基因型为AA,Aa,aa的植物所占的百分率,且记nx为第n代植物的基因分布:nx=Tnnncba,,,,,2,1,0n这里Tcbax0000,,表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),满足1000cba;若以上述百分率来估计概率,则运用全概率公式:对于AA型,有0000111nnnncbaa,对于Aa型,有11111210211nnnnnnbacbab,Nn,对于aa型,有11111211210nnnnnncbcbac.显然111nnnnnncbacba.所以1000cbacbannn.将所得到的关系式联立,有nnnnnnncbcbaba2121011.于是若记12100211000M,便得到第n代基因型分布的数学模型1nnMxx,Nn.进而有01122xMxMxMxnnnn,即0xMxnn.它表明到第n代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定.对于矩阵M,由1211210021100ME得矩阵M的三个特征根为1,21,0321.从而得到特征值1,21,0321对应的特征向量为121,110,100.令1000210000D,111012001P,运用初等变换计算1P,有1110120011P=P.进而有010xPPDxMxcbannnnnn0001110120011000210000111012001cban00011121121102121000cbannnn.所以有(注意到1000cba)0010012121121210bacbabannnnnnnNn.评注以上两例都是利用矩阵理论来建模,将复杂的问题转化为求矩阵A的高次方问题,直接求矩阵的高次方比较麻烦,我们利用矩阵特征值及其特征向量将矩阵转化为对角阵再求其高次幂就会非常方便.3.2矩阵特征值在一阶线性常系数微分方程组中的应用矩阵特征值在微分方程中也有广泛的应用,尤其在微分方程的求解方面有重要的作用,接下来我们将从矩阵特征值在求解一阶线性微分方程组中的应用来研究矩阵特征值的作用.一阶线性齐次常系数微分方程组nnnnnnnnnnyaaadtdyyayayadtdyyayayadtdy.........212222121212121111.1.2.3令Y=Tnyyy,...,,21,TndtdydtdydtdydtdY,...,,21.A=ija是方程1.2.3的系数矩阵,则1.2.3写作矩阵形式为:AYdtdY.2.2.33.2.1矩阵A的特征根均是单根的情形令1.2.3的解为:Y=Xex.即nyyy21=nxxxxe21.当矩阵A可对角化时,由A的n个特征值1,2,…,n及相应的n个线性无关的特征向量1X,2X,…,nX,可求得2.2.3的n个线性无关的特解(即1.2.3的基础解系)ntttXeXeXen,,,2121.3.2.3它们的线性组合Y=111Xect+222Xect+…+ntnXecn4.2.3即为方程组1.2.3的一般解(其中nccc,...,,21为任意常数).其一般解4.2.3式写成矩阵形式为:Y=nXXX,,,21tttneee21nccc21.5.2.3记P=nXXX,,,21,),...,,(21ndiag=APP1.令e=tttneee21,C=nccc21.则方程组1.2.3一般解5.2.3式可写为:Y=PeC.6.2.3例1求一阶常系数齐次线性方程组21221141412165yydtdyyydtdy的通解.解令Y=21yy，dtdydtdydtdY21,A=41412165.则方程组的矩阵形式为AYdtdY.由特征方程41412165AE=()1(+121)得矩阵A的特征值为1和121,从而得特征值1和121对应的特征向量为1X=13,2X=32.令P=3123.由方程1.2.3的通解表达式CPY得:Y=3123ttee12121cc.即ttttececyececy121212121211323.评注求解一阶常系数方程组的关键在求方程组的基本解组,当方程组1.2.3的系数矩阵A特征根均是单根时,其基本组的求解问题,就归结为求这些特征根所对应的特征向量.3.2.2